INTRODUCTION. ^ 



par le nombre de sphères comprises dans la hauteur , c'est-à-dire 

 par M y et le nombre total des sphères conclu de ces deux opé- 

 rations , sera ^ X BxM. 



Mais dans la forme que nous supposons , on peut prendre éga- 

 lement B pour la hauteur , M et ^ pour les autres dimensions. 

 Raisonnant donc sur ces nombres comme sur les précédens, on 

 auroit pour le nombre total des sphères Mx^ xB. 



On doit donc avoir ^4xBx3I=Mx^xB. Mais ^xB — N 

 et NxM^MxN^ donc MxN ou Mx^B—Mx^^xB. 

 C'est la proposition que nous voulions démontrer. 



On pourroit démontrer la même chose , mais d'une manière 

 peut-être moins claire , par une simple figure rectangulaire. Ima- 

 ginons M quarrés égaux dans la largeur et N dans la longueur. Le 

 nombre total des quarrés sera Mx N. Supposons ensuite que iV 

 est le produit des deux nombres y^ et B ^ nous pourrons concevoir 

 dans la longueur totale N autant de fois la longueur partielle ^ 

 que le nombre 5 contient d'unités. Mais le nombre de quarrés qui, 

 dans la figure rectangulaire , répond à chaque longueur partielle 

 ^ f est MXuf^ : donc puisque la longueur partielle ^ est con- 

 tenue B fois dans la longueur totale iV", il faut multiplier le nombre 

 M X ^ par -S , et on aura Mx ^ x B pour le nombre de quarrés 

 contenus dans la figure totale. Donc le nombre MxN déduit 

 d'une seule multiplication , est égal au nombre Mx ^xB qui 

 résulte de deux multiplications. 



III. D'après ces deux propositions , on démontrera facilement 

 que le produit de tant de facteurs que Von voudra , demeure tou' 

 jours le même , en quelqu' ordre que les facteurs soient multipliés. 



Pour prouver, par exemple , que le produit ^xBx CxD 

 est égal au produit CADB , je commence par faire en sorte que 

 la même lettre occupe la dernière place dans les deux. Or on a , 

 en vertu des propositions précédentes, ^xB xC^=:.AxCxB ; 

 donCu^B CZ?=:^C5 Déconsidérant ensuite ^C comme un seul 

 nombre , on aura ^CxBxD^^CxDxB. Ainsi la lettre B 

 est à la dernière place dans ce produit , comme elle l'est dans 

 l'autre produit donné C^DB s ôtant cette dernière lettre, il ne 



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