* THÉORIE DES NOMBRES. 



reste plus à prouver que l'égalité ACD^^CAD^ or elle suit 



de ce que ^ C = C^* 



^ IV. Le -produit de deux nombres A é-if B est divisible -par tout 

 nombre premier qui divise exactement Vun ou Vautre des facteurs 

 A et-Q. 



Car soit 9 un nombre premier qui divise B , et soit en consé- 

 quence B=CxQ ^ on aura ^Z? = ^Cx0> donc ^B divisé 

 par 9 donne le quotient exact ^ C. 



V. Si le nombre 9 divise à la fois les deux nombres A e^B, 

 il divisera la somme et la différence de deux multiples quelconques 

 de ces nombres. 



Car si Fon a A^A' S , B=B' Q , partant mAdznB^m'A'Q ziznB'^y 

 cette quantité divisée par ô donnera le quotient exact mA'^nB', 



VI. Tout nombre premier qui ne divise ni Vun ni Vautre des 

 facteurs A e"^ B, ne peut diviser leur produit AB. 



Cette proposition étant l'une des plus importantes de la théorie 

 des nombres , nous donnerons à sa démonstration tout le déve- 

 loppement nécessaire. 



Soit , s'il est possible , Q un nombre premier qui ne divise ni 

 ^ ni -S, mais qui divise le produit AB ; soit que A soit plus 

 grand ou plus petit que 9 , on pourra supposer qu'en divisant A 

 par 9 , on a le quotient m ( qui peut être zéro ) et le reste A' 5 

 on aura donc A = m^-\- A' ; on aura sembl ablement B = nQ + B\ 

 Donc AB~mnOÔ + nA'B-\-mB'S + A'B'. Cette quantité, 

 d'après l'hypothèse , doit être divisible par 6 , et comme la partie 

 mnSQ + nA'ô-Jr mB'S se divise d'elle - même par ô , il faudra 

 donc que l'autre partie A' B' soit également divisible par Oj ainsi 

 nous pourrons faire A' B'=S C 



Dans ce premier résultat , nous remarquerons , 1°. que A' et B' 

 île sont zéro , ni Fun ni l'autre , parce que A et B sont supposés 

 non-divisibles par ô^ 2°. que A' et B^ étant des restes de division 

 sont moindres que le diviseur 9 j 5°. qu^aucun des nombres A', B' 

 Jie peut être égal à l'unité 5 car si on avoit ^'= 1 , le produit A'B' 



