INTRODUCTION. 5 



deviendroit jB'; or B' étant < 9 , il est impossible que B^ soit divi- 

 sible par ô. 



Nous avons donc deux nombres entiers A\ B' , tous deux plus 

 grands que Funité, et tous deux moindres que 9, dont le produit 

 est divisible par 9 , de sorte qu'on a ^'jB' = ô C. Voyons les con- 

 séquences qui en résultent. 



Puisque ^' est moindre que 9 , on peut diviser 9 par ^' ^ soit 

 m le quotient et yi" le reste , on aura 9 = m ^' + ^". Donc 

 6 X jB'= /7z X ^' X i5' + ^" X B'. Le premier membre est di- 

 visible par 9 > il faut donc que le second le soit aussi : mais la 

 partie m x ^' X 5' est divisible d'elle - même par 9 , puisque 

 ^'B'=CQ-y donc l'autre partie ^" B' doit être encore divisible 

 par 9. 



Le nombre A" , qui est un reste de division , est moindre que 

 le diviseur yi' j il ne peut d'ailleurs être zéro , car si cela étoit ^ 

 ô seroit divisible par A' , et ne seroit plus un nombre premier* 

 Donc du produit A' B\ supposé divisible par 9^ on tire un autre 

 produit A" B' divisible encore par 9 , lequel est plus petit que A'B' 

 et cependant n'est pas zéro. 



En suivant le même raisonnement , on déduira du produit A"B^ 

 un autre produit A'" B' ovl A" B" ^ encore plus petit, et qui sera 

 toujours divisible par 9 sans être zéro. 



Et en continuant la suite de ces produits décroissans j on par-^ 

 viendra nécessairement à un nombre moindre que 9.^ Or il est im- 

 possible qu'un nombre moindre que 9 et qui n'est pa& zéro , soifi 

 divisible par 9 3 donc l'hypothèse d'où l'on est parti est impossible.- 



Donc si les nombres A ^X. Bne sont divisibles , ni l'un ni l'autre , 

 par le nombre premier 9 , leur produit AB ne pourra non plus être 

 divisible par 9.. 



VII. La doctrine des incommensurables repose entièrement sup 

 le principe qu'on vient de démontrer. En effet, s'il existoit, par 



exemple , une fraction rationnelle — égale à v^ 3 , il faudroit que 



77Z" , 



—fut égale à 2; donc m/" devroit être divisible par chacun ae$ 

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