6' THÉORIE DES NOMBRES, 



nombres premiers qui divisent n» Mais la fraction — étant censée 



irréductible , m n'a aucun diviseur commun avec n; donc en vertu 

 du tliéorême précédent w* ne peut avoir non plus aucun diviseur 



commun avec n ; donc il est impossible qu'on ait— ^ = 2. 



En général , une puissance quelconque du nombre a ne peut avoir 

 pour diviseurs d'autres nombres premiers que ceux qui divisent a ; 

 et ainsi , si on ne peut trouver l'entier x tel que a;" = ô , b étant 

 un nombre entier donné , on ne pourra non plus satisfaire à l'équa- 



tLon — = Qf> 



y 



VIII. Un nombre quelconque N , s'il n'est pas premier y peut être 

 représenté par le produit de plusieurs nombres premiers *, é", -j/ , &c, 

 élevés chacun à une puissance quelconque j d& sorte qu'on peut 

 toujours supposer N = a'" é"" ^'' , &c. 



En effet , la méthode à suivre pour opérer cette décomposition , 

 consiste à essayer la division du nombre N successivement par 

 chacun des nombres premiers 2,3,5,7, &c.(i). Lorsque la division 

 réussit par le nombre premier a , on la répète autant de fois qu'il 

 est possible , m fois en général j et en appelant le dernier quo- 



Wl -- . - ' . Il I l i I . 1 .1. 



(1) On reoonaoît à la seule inspection , si un nombre donné est divisible par 

 ji , 3 , ou 5 : à l'égard des autres noiubres premiers, il n'y a guère de règle plus 

 simple que la division efiPective. Cependant comme le produit des trois nombres 

 7, n , i3 est 1001 , il s'ensuit que 1000 divisé par l'un de ces nombres, laisse 

 le reste — 1 , que ( 1000)* laisse le iveste +1 , ( looo)^ le reste — 1 , et ainsi alter- 

 nativement. De-là on déduit un procédé^ fort simple, pour savoir si un nombre 

 donné est divisible par l'un des nombres premiers 7, 11 , i3 , ou par le^oduit 

 de deux d'entr'eux ; soit, par exemple, le nombre 23473So95i4, après l'avoir 

 partagé en tranches de trois chiffres , de gauche à droite , je fais une somme des 

 tranclies 1®", 3®, 5«, &c. , et une des autres tranches. Je soustrais la seconde somme 

 83i delà première 987, et j'ai la différence -l-i56. Cette différence n'est divisible 

 ni par 7 ni par 11, mais elle est divisible par i3; donc le nombre proposé n'est 

 divisible ni par 7 ni par 11 , mais il est divisible par i3. En général, la diffé- 

 rence aiçsi trouvée , prise pour dividende , donnera le même reste que le nombre 



