io THÉORIE DES NOMBRES. 



il ne s'ensuit pas réciproquement , que tout nombre compris clans 

 la formule Gxzàz i soit un nombre premier j on trouveroit que cela 

 n'a pas lieu lorsque a- = 4 , 6 , &c. 



XVI. En général , il n'existe aucune formule algébrique qui ne 

 représente que des nombres premiers. Car soit, par exemple , la 

 {oTOiule F= ax^-i-bjc^-^-cx + dj et supposons qu'en faisant :i; = y6, 

 la valeur de P soit égale au nombre premier p ; si on fait x^^+pj, 

 •y étant un entier quelconque , on aura 



Pz=p^ ('5a]^-\-'2bk-\- c) py -{■ (5 aJ^+b) p^y" + ap'^y. 

 D'où l'on voit que P n'est pas un nombre premier , puisqu'il est 

 divisible par p , et différent de p. 



11 est néanmoins quelques formules remarquables par la mul- 

 titude de nombres premiers qui y sont contenus : telle est la 

 formule .r^ 4- .r+ 4i dont Euler fait mention dans les Mémoires 

 de Berlin (an. 1772, pag. 36 ) , et dans laquelle, si l'on fait 

 successivement ^=0,1,2,3, &c. on a la suite 41,43,47,53,61,71, Sic. 

 dont les quarante premiers termes sont des nombres premiers. 



On peut citer dans ce même genre la formule :t;*4-^+i7, 

 dont les dix-sept premiers termes sont des nombres premiers ; la 

 formule 2 a;' -f 29 , dont les 29 premiers le sont , et une foule 

 d'autres. 



XVII. Si on ne peut pas trouver de formule algébrique qui ren- 

 ferme uniquement des nombres premiers , à plus forte raison n'en 

 peut-on pas trouver une qui renferme absolument tous ces nom- 

 bres , et qui soit l'expression de leur loi générale. Cette loi paroît 

 très-difficile à trouver d'une manière quelconque , et il n'y a guère 

 d'espérance qil'on y parvienne jamais. Cela n'empêche pas qu'on 

 ne puisse découvrir et démontrer un grand nombre de propriétés 

 générales des nombres premiers , lesquelles répandent un grand 

 jour sur leur nature. 



Et d,'abord nous pouvons démontrer rigoureusement que la 

 multitude des nombres premiers est infinie. 



Car si la suite des nombres premiers i, 2,3,5, 7, 11, &c. étoit 



