INTRODUCTION. ii 



finie , et que p fût le dernier ou le plus grand de tous , il faudroit 

 qu'un nombre quelconque N fût toujours divisible par quelqu'un 

 des nombres premiers 2.3.6.7..../}. Mais si on représente par P 

 le produit de tous ces nombres (1) , il est clair qu'en divisant P+ i 

 par l'un quelconque des nombres premiers jusqu'à p , le reste sera 

 ■4-1 j donc l'hypothèse que p est le plus grand des nombres pre- 

 miers ne sauroit avoir lieu 3 donc la multitude des nombres pre- 

 miers est infinie. 



Cette proposition se prouve encore d'une manière directe et 

 fort élégante , en faisant voir que la somme de la suite 

 7-t-7+y+y-l-y-[- &c. cst infinie. Voyez Vlntrod. in ^nal. injin. 

 pag. 235. 



XyiII. Tous les nombres impairs s'expriment par la formule 

 2^ -f- i> laquelle selon que x est pair ou impair contient les deux 

 formes ix ■\- 1 et ix — 1. De-là deux grandes divisions des nom- 

 bres premiers , l'une comprenant les nombres premiers 4 x + 1 » 

 savoir i,5, i5, 17, 2g, 37, 4i, 53, 61, 73, &c. , l'autre com- 

 prenant les nombres premiers ix — 1 , savoir 3,7,11, ig,23, 

 3i , 43, 47, 59, &c. 



La forme générale 4 a: -f 1 se subdivise en deux autres formes 

 8x + 1 et 8a; + 5 ou Sx — 3. De même la forme 4a; — 1 se sub- 

 divise en deux autres 8A;-i'3et8A;-f7 ou Sx — 13 de sorte 



(1) Si l'on admet successivement 1 , 2,3, ^c. , facteurs dans le produit P,on 

 trouvera que le nombre P-f-i prend les valeurs 3, 7,61, 211, 25 11, 3oo3i , &c. 

 Les cinq premiers termes sont des nombres premiers , ce qui pourroit faire pré- 

 sumer que les suivans le sont ; mais cette conjecture est bientôt anéantie , en 

 examinant le sixième terme 3oo3i qu'on trouve être le produit de 59 par 5og. 

 En général, c'est un problême difficile, et non encore résolu, de trouver un noiiibre 

 premier plus grand qu'un nombre donné. Fermât avoit annoncé ( mais sans dire 

 qu'il en eût la démonstration ) que la formule 2*-i-l donnoit toujours des nombres 

 premiers , pourvu qu'on prit pour x un terme de la progression double 1 ,q,4,8, î 6,&c. 

 Cette formule , qui auroit fourni une solution très-simple du problême men- 

 tionné , s'est trouvée en défaut ; car suivant la remarque d'Euler , si l'on fait 

 A- -^ 3a , on a a'^-f" i = 64 1 . 6700^ 1 7, 



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