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De-là il suit qu'au moyen de chaque quotient-complet , on peut 

 toujours reproduire la valeur entière et exacte de la quantité dé- 

 veloppée, quelque loin qu'on ait poussé le développement. Cette 

 propriété recevra par la suite un grand nombre d'applications utiles. 



(4) Étant proposée une fraction continue 



"^"^^r-f&c. 



pour la réduire en fraction ordinaire , ou pour en trouver la valeur, 

 quel que soit le nombre de ses termes , il faut observer la loi que 

 suivent les résultats obtenus , en prenant successivement le pre- 

 mier terme , les deux premiers , les trois premiers , &c. de cette 

 quantité j or on a , par les réductions ordinaires : 



et 1 a.C+1 1 ctCy + 7 + ^ 



7 



, rt+1 eiCyS' + yS'+ ctS'-]' et C -[- 1 



De-là il suit que — ^ - étant deux résultats consécutifs , et // un 

 n q 



piJL-\- m , - . . 



nouveau quotient , le résultat suivant sera — ; c est la loi 



^ q^ -\- n 



générale suivant laquelle on peut calculer facilement la valeur de 



la fraction continue proposée, quel que soit le nombre de ses termes. 



Voici le type de l'opération : 



Quotiens ...... a , r, y , «T , . . . /^ , / , /^ . . &c. 



Fr'ÏÏctions \ i et aé'-fi ctCy\-y-\-A p p' p" o 

 convergentes) q'^' ç ' ey-{-i 9 9 9 



Sur une ligne on écrit les quotiens successifs £t , é" , y , «T , &c. 5 



au-dessous des deux premiers on met les deux fractions-,- (la 



première étant mise seulement pour^ mieux faire sentir la loi ) , 

 ensuite on multiplie chaque numérateur par le quotient écrit au- 



