24 THÉORIE DES NOMBRES. 



dessus , on ajoute le numérateur précédent , et la somme est le 

 numérateur suivant j on fait de même à l'égard des dénominateurs , 

 • et la suite des fractions qui résultent de ce calcul représente les 

 diverses valeurs de la fraction continue proposée , selon qu'on en 

 prend plus ou moins de termes. Ces valeurs doivent approcher de 

 plus en plus de la valeur totale de la fraction continue, c'est pour- 

 quoi nous les appelons fractions convergentes ; si la fraction con- 

 tinue ne s'étend pas à l'infini , la dernière des fractions convergentes 

 sera la valeur exacte de la fraction continue proposée. 



(6) Pour rendre raison de la loi que nous venons d'indiquer, 

 supposons qu'elle ait été vérifiée au moins jusqu'à un certain quo- 

 tient i^', soit -la fraction convergente qui répond au quotient /oc, 

 ou qui est placée immédiatement au - dessous j soient en même 



tems — la fraction convergente qui précède - ,- et ^ celle qui 

 ^ ^ 9 i^. 



o f 



la suit en cette sorte , ±L P E- 



on aura , suivant la loi dont il s'agit : 



, et la fraction —7- sera celle qui résulte de tous les quotiens de la 

 fraction continue jusqu'à ft inclusivement. Ajoutons maintenant un 

 nouveau quotient //'à la suite de ^a, et soit ~ la valeur de la fraction 



continue calculée jusqu'au quotient /w' inclusivement , il est clair 



v' ' 



que la v.aleur analytique de ~ ne sera autre chose que celle de ^ 



q ^ q' 



flans laquelle , au lieu de fc , on mettroit /t-t + -7- ; donc on aura 



h*- 



Donc 



