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Donc la fraction convergente -^ se déduira des deux précédentes 



-,^ , et du quotient /w' répondant à la dernière , suivant la loi 

 9 9 



oit, 

 p =p H- +P 



Et ainsi cette loi de continuation aura lieu généralement dans toute 

 rétendue de la fraction continue. 



(6) Il est à remarquer que les fractions convergentes succes- 



1 et ctC -\- i ("■ ^ y •\- y •\- ^ o 

 sives-, -, — - — , — , &c. sont alternativement plus 



1 fa Gy + 1 



grandes et plus petites que la valeur totale x de la fraction con- 

 tinue 5 c'est une suite de ce que les quotiens *^ ^, ■>', ^, &c. sont 

 supposés tous positifs. En effet , si on prend un seul terme « , on a 



évidemment a. <^x ; si on en prend deux , on aura <* H — >■ ^ y car 



pour avoir la vraie valeur de a; , il faudroit augmenter le dénomi- 

 nateur C d'une certaine quantité. On verra de même , qu'en prenant 



trois termes a + - i ^ le résultat est plus petit que x , et ainsi al- 



y 

 ternativement. 



Donc la valeur de x est toujours comprise entre deux fractions 



conçergentes consécutives. 



O 



Cela posé , je dis que si — , - sont deux fractions convergentes 



9 9 



consécutives , on aura pq° — ^°q:=::±z i , savoir -f i si la fraction - 



9 



est du nombre des fractions plus grandes que a; , ou si elle est 



de rang impair ( - étant censée la première ) , et — i si elle est de 



rang pair. 



En effet , si l'on considère trois fractions convergentes consécu- 



P" p p' . , , • , ^ ^ P 



tives —- , -, -^ , et que i*. soit le quotient qui repond a -, on 



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aura , suivant la loi démontrée , p =: (j. p -{- p° , ^' — //^ + ^^ j d'où 



résulte p q — p g'= — (p q° — p^ q). Mais par la même raison , si la 



D 



