26 THÉORIE DES NOMBRES, 



fraction^ est précédée de — ,on aura/? ç° — P°Ç= — Cp°Ç°^ — P^'9*)' 



Remontant ainsi jusqu'aux deux premières fractions -, -, où la 



différence analogue ixi — <*Xo = i, on en conclura que la 

 différence p g° — p° q est toujours égale à l'unité avec le signe + , 



si - est de rang impair , et le signe — dans le cas contraire. 

 S' 



(7) Cherchons présentement quelle est la différence entre une 

 fraction convergente - et la valeur entière x de la fraction conti- 



♦ nue. Pour cela , soit toujours -7 la fraction convergente qui pré- 

 cède -, et jK le quotient-complet qui répond à celle-ci , on aura, 



jj Y -4- n° , 



suivant ce qui a été démontré , x = -^ ^— - , d'où l'on tire 



g q(qy-\- q") q (q y -^ q' ) 



Pl-= (pi °—p°i)y ^ ^ y 

 f q° Iqy + q") q" (qy + q°) ' 



_ ,. • O P P" . 1 • 



Ue-la on voit 1 . que x — - et ^ — —^ sont toujours de signes 



contraires , et qu'ainsi la valeur exacte de x est toujours comprise 

 entre deux fractions convergentes consécutives. 



2°. Que la différence x est en général moindre que —- , et 



q q 



par conséquent peut être représentée par — — , «T étant plus pe^ 



,, . , q 



lite que 1 unité. 



5°. Que la quantité p — ^x est plus petite (abstraction faite de 



son signe ) que p° — q° x. Car on a - = ~ j or par la 



j q°x—p 



nature des fractions continues,jj/est toujours plus grand que l'unité. 



Donc à plus forte raison . - — x est plus petit que"^ —a:,- donc 



' q ' "^ ^ q 



