PREMIÈRE PARTIE. 27 



chaque fraction convergente - est plus approchée de x que toutes 



celles qui la précèdent. Propriété qui justifie la dénomination de 

 ces fractions. 



(8) Soit maintenant - une fraction quelconque dont le dénomî-' 



Dateur ? soit moindre que q ; je dis que la quantité -^ — (px^ abs- 

 traction faite de son signe , sera plus grande quep — qx et même 

 que p° — q° X. 



Car si Pon prend M=^pp — q^^ , N=^p°P — 'g^^T, on aura réci- 

 proquement , 



Cpq''~-p°q)7r=z p^M—pN 



(pq°—p'^l)^= q'M^qJSf. 



Or on suppose ¥<iq ^ et on a. pq° — p° q=^z±zï j donc les nom- 

 bres M et N seront nécessairement de même signe. Cela posé , 

 on aura Cpq"—p°q) (^—(px)— M (p'—q" x) — N (p — q x). 

 Mais MelN sont de même signe , les quantités p^ — q° ^^ P — q^'^ 

 sont de signes contraires 5 et on a d'ailleurs pq° — p^q^^tii^ 

 donc T — <fix est non- seulement plus grande que chacune des 

 quantités p° — q° x , p — qx ; mais elle est au moins égale à leur 

 somme. 



Puisque p étant supposé «<ç^, on a généralement t — ç>x'^p — qxy 



il s'ensuit , à plus forte raison , qu'on a a;>- — x ; donc la 



(p q 



fraction convergente - est toujours plus approchée de x que ne 



Pest toute autre fraction - dont le dénominateur est moindre que q. 



Cette propriété des fractions continues s'applique avec avan- 

 tage , toutes les fois qu'il est question d'exprimer par des rapports 

 les plus simples et les plus approchés qu'il est possible , des rap- 

 ports entre de très-grands nombres , ou des nombres irrationnels. 



(g) Étant donnée une fraction - dont la différence avec une quan- 

 tité quelconque x est =i= -^ , «T étant plus petit que l'unité , on 



