28 THÉORIE DES NOMBRES. 



demande quelle est la condition pour que la fraction ~ soit Fune 



des fractions convergentes données par le développement de x 

 en fraction continue. 



Pour cela , supposons que le développement de la fraction - 



produise les quo tiens successifs * , é", 7/. , . . //, au moyen desquels 



on calculera les fractions convergentes vers - , comme il suit : 



Quotiens « , ^ , y /^ 



_, 1 tt ■ etC ■\- \ V" V 



Fract. converg. ô ' T ' —J—-'— ^'^- 



Si la fraction - est une fraction convergente vers x ^ il faudra 



que les quotiens * , é", ^ /m naissent également du développe- 

 ment de a; , et que le quotient /u soit suivi de plusieurs autres 

 /^', i^' , &c. Appelons j' le quotient- complet qui , dans le déve- 

 loppement de X , répond à la fraction convergente ~ , on aura 



ar= — , d ou resuite 



qy-k-q 



q q(qj-^q^) q(qj + q°) 



Cette quantité doit être égalée à — ^ , ainsi il faut d'abord que 



le signe de p ç° — p q° soit le même que celui de «T. Or c'est ce 

 qu'il est toujours possible d'obtenir. 



En effet , la suite des quotiens <* , C, , ,, y. étant tirée de la frac- 



tion donnée - , par la même opération qui serviroit à trouver le 



commun diviseur dep et ç' , le dernier de ces quotiens f-^ est toujours 

 plus grand que l'unité. Car s'il étoit égal à l'unité , la fraction 



continue a +- „ j ^^ ^i^u d'être terminée par les deux termes 

 C + &c. ^ 



— — 1 , le seroit par le seul terme . Réciproquement donc 



