PREMIÈREPARTIE. 29 



on pourra , si on le juge à propos , élendre le dernier quotient i^ en 

 deux autres // — 1 , 1 3 de sorte que le calcul des fractions conver- 

 gentes vers - pourra être terminé à volonté de Fune ou de l'autre 

 de ces deux manières : 



m p m p — m p 



n q n q — n q 



p° 

 Soit —^ la fraction convergente qui dans Fune ou Pautre hypothèse 



précède - , on pourra donc prendre ou p°=m , q°:c=:n , oup°=p — m, 



^° =Ç — n y niais le signe àep q° — p" q est le contraire dans un cas 

 de ce qu'il est dans l'autre 5 donc en effet on peut toujours faire 

 en sorte que la quantité /? ^r" — p"" q ait le signe qu'on voudra. 



On aura donc sans ambiguité = — .ou «T^ — - — . 



q(qy-^q°) q' qj + q^ 



Or il faut que y soit positif et plus grand que l'unité , pour que j' 



soit le quotient-complet qui répond à la fraction convergente , 

 donc on aura cr< — ;^— - : et réciproquement si on a «T < — - — , 



q -^-q ^ ^ q\ q 



la valeur de y sera positive et plus grande que l'unité , donc - 



q 



sera l'une des fractions convergentes vers x. C'est la condition 

 qu'il s'agissoit de trouver. 



Cette condition seroit remplie entr' autres cas , si on avoit cr< j, 

 parce que q" est toujours <iq. 



(10) Nous placerons ici une application de la propriété précé- 

 dente , laquelle sera utile dans la résolution des équations indé- 

 terminées du second degré. 



Soit /?* — A q^=id^D une équation indéterminée dans laquelle 

 Z? est < \/ ^ , je dis que si cette équation est résoluble , la frac- 



p 

 tion - sera comprise parmi les fractions convergentes vers \/ A, 



