5o THÉORIE DES NOMBRES. 



En effet , de cette équation on tire p — ûr\/^= 7— ; j- 



et amsi y ^ que le représente par — — = -- — ; r~r: -i 



Dq ' P° ^ r ' ' ' 



donc <r = — ^ — ;; ; soit ^— la iraction convergente qui pre- 



P ■{■ q V -^ q' 



cède - et qui est déterminée de manière que le signe de «T soit le 



q 



même que celui de D , il restera à prouver qu'on a 



\^^/ . <— T-V> 0^ D(q-^f) <p + q\/^. Dans le 

 p -\-q\/ ^ q -V q 



second membre , je mets , au lieu de /? , sa valeur q \/^± - 9 

 et Finégalité à prouver pourra s'écrire ainsi : 



(q^r) (\/-^-JV -^-Cq-f) \/^±->o. 



Or cette inégalité est manifeste , puisqu'on Sl \/ -A^ D ^ q^ q^ ^ 



et que la partie seule (q — q°) \/ A , qui est au moins égale à y/ A^ 



c^ . . p . 



surpasse - qui est plus petit que Tunité. Donc - sera toujours 



comprise parmi les fractions convergentes vers \/ A. ^ de sorte qu'il 

 ne s'agit que de développer y/ -A en fraction continue , et de 

 calculer les fractions convergentes qui en résultent , pour avoir 

 toutes les solutions en nombres entiers de l'équation x"" — Aj''=^:àzDy 

 D étant < v^^. 



(il) Considérons une fraction continue plus petite que l'unité , 



et d'un nombre fini de termes - 1 = -- • le calcul des 



« H — ^ Q 

 é' + gtc. ^ 



fractions convergentes étant fait à l'ordinaire , comme il suit : 

 Quotiens a, é", y x, ^ k ^ fjt. 



Fract, converg. ... -, -, — ~ — , ~. ~ , - 



^ l'a' a.C+ 1 ^ °- ^ q^°^ q° ' q 



on aura , suivant la loi de formation : 



