3x THÉORIE DES NOMBRES. 



5» II. Résolution des Équations indéterminées 

 du premier degré, 



r 



(12) Il TANT donnés deux nombres a et h premiers entr'eux, 

 on pourra toujours résoudre en nombres entiers Féquation 



ax — hy :=^ 1. 



Pour cela , il faut réduire - en fraction continue , et calculer la suite 







des fractions convergentes vers -. Soit — celle qui précède - , on 



aura l'équation ah" — <2° ^ = ± 1 . Si le signe + a lieu , on aura 



immédiatement a7= ^°, j/ = a° , ou plus généralement , en prenant 



une indéterminée z , 



x — lf-^-hz 



j = a° '\- a z. 

 Si Ton aab'' — a°b = — 1 , alors on peut faire a; = — ^%jr= — <2% 

 ou plus généralement 



X = — b' -h bz 



y = — a° ~\- az 

 Z étant une indéterminée qu'on peut prendre à volonté positive 

 ou négative. 



(i3) En général, si on a à résoudre l'équation ax''^bj = c , 

 a ei b étant toujours premiers entr'eux , on cherchera de même , 

 par les fractions continues , les nombres a° et b" qui donnent 

 ab°—^a''b=zàzij et de- là on conclura 



X = b zdt=:b° c 

 y = a z ziz a" c. 

 Au moyen de l'indéterminée z , il est facile de trouver une solu- 

 tion telle que x ne surpasse pas ± ^ è , et une autre telle que 

 y ne surpasse pas ±^0;. En effet, si b^ c surpasse ^ è , on peut 



b° c 

 prendre pour z l'entier le plus proche de — ^ — et alors b°c — bz 



sera plus petit que | b. 



On 



