PREMIÈREPARTIE. 35 



On suppose que a et b n'ont point de commun diviseur ; car 



s'ils en avoient un , l'équation ax — by^ = c ne pourroit avoir lieu , 



à moins que c lui-même ne fût divisible par ce commun diviseur, 



et dans ce cas , il faudroit le faire disparoître par la division. 



Remarque. Sans connoître les nombres t e\.u qui peuvent être 

 indéterminés 3 il suffit de savoir que l'un de ces nombres u est 

 premier à un nombre donné ^ , et on pourra toujours supposer 

 qu'il existe deux nombres tz et ^ , tels que t r= nu — ^ z _,• on pourra 

 supposer en même temps que n n'excède pas 7 ^. Cette propriété 

 recevra par la suite un grand nombre d'applications. 



(i4) L'équation ax — bj=^c que nous venons de résoudre satis- 



fait à la question de trouver une valeur de x telle que 



ax- 



b 



a X "■"" c 

 soit un entier , condition que nous exprimerons ainsi — - — = e. 



Or on peut avoir simultanément plusieurs conditions de cette sorte 



à remplir 5 supposons qu'on demande une valeur de x telle que les. 



trois quantités 



ax — c a! X — c cl' x — • c" 



b ' b' ' b" 



soient des entiers. La première condition donnera une valeur de x 

 de la forme x = m-\-bz: cette valeur étant substituée dans la 

 seconde quantité , il faudra déterminer z de manière que 



abz-\-a'jn — c' _. .. . _,. ... 

 — = e. Ici peut se mamiester un signe d impossibi- 

 lité ; car si b et b' ont un commun diviseur , il est clair que l'équa- 

 tion précédente ne peut avoir lieu , à moins que le nombre déter-; 

 miné a' m — c ne soit divisible aussi par 9. 



En général , la valeur de z qui satisfait à la condition précé- 

 dente ( si elle n'est pas impossible ) sera de la forme z:=n -^ b' Zy 



ou 2 = /z + — z' , si b' et b ont un commun diviseur 9. On aura 



donc x = m-\'bn-\-bb'z'^ ou en général x^=m ■]r B' z\ B' étant 

 le moindre nombre divisible à-la-fois par b et b' . Cette valeur étant 

 substituée dans la troisième quantité qui doit être un entier , on en 



E 



