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§, III. Méthode pour résoudre en nombres rationnels 

 les Équations indéterminées du second degré, 



(i5) OoiT proposée Péquation générale 



ox^ + bx y + cj" -^ d X -^ ey + /*= o , 

 dans laquelle x ety sont des indéterminées ,et(2, b , c^ df, ^jjT 

 des nombres entiers donnés positifs ou négatifs -, on tire d'abord 

 de cette équation 



2ax -Jr by + d=\/ \_(bj + dy—ia(cy-\- ey-\-f)]. 

 Ensuite si Ton fait , pour abréger , le radical = t , b" — 4 ac = ^ ^ 

 à d — 2ae = g , d" — 4 af= h , on aura les deux équations 



2 a Jt; + by + d=:t 

 ^y" + 2 gy -^ h=t\ 

 Multiplions la dernière par ^ , et faisons de nouveau u^y+g = Uy 

 g" — ^h=B -y nous aurons la transformée 



Réciproquement si on peut trouver des valeurs de w et f qui satis- 

 fassent à Féquatîon u" — ^ t'' r= B , on en tirera les valeurs des 

 indéterminées x et y de Féquation proposée , savoir : 



ud la 



où Ton doi# observer que u et t peuvent être pris l'un et l'autre 

 avec le signe qu'on voudra. 



Si on cherche la solution de l'équation proposée en nombres 

 rationnels , il suffira de résoudre par de tels nombres la trans- 

 formée z/ — u4t'^z=^B ; mais si on veut résoudre la proposée en 

 nombres entiers , il faudra non-seulement que t et u soient des 

 entiers , mais que les valeurs de ^ et z/ substituées dans celles de x 

 et y donnent pour celles-ci des nombres entiers. Dans ce qui suit 

 nous ne nous occuperons que de la résolution en nombres rationnels. 



( i6 ) Toute équation indéterminée du second degré peut se 

 réduire , comme nous venons de le voir , à la forme w' — ^4 t^=B ; 



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