36 THÉORIE DES NOMBRES. 



or quels que soient les nombres rationnels teiu, on peut supposer 



qu'ils sont réduits à un même dénominateur. Ainsi , en faisant 



w == - , ^ = - j on aura à résoudre Téquation 

 z z 



x''-^y^ = Bz'' 

 dans laquelle maintenant x^y^z sont des nombres entiers. 



On peut supposer que ces trois nombres n'ont pas entr'eux un 

 même commun diviseur , car s'ils en avoient un , on le feroit dis- 

 paroître par la division. De même on peut supposer que les nombres 

 ^ elB n'ont aucun diviseur quarré j car si on avoit , par exemple , 

 \A — ^'k\ B = B' l\ on feroit ky=y ^ lz:=^z\ et l'équation 

 à résoudre deviendroit 



AT*— ^y» = 5'-s'* 



dans laquelle A' et B' n^ont plus de facteur quarré^ 



L'équation x"^ — Ay'^^=Bz'' étant ainsi préparée, on observera 

 que deux quelconques des indéterminées x ^y ^z ne peuvent avoir 

 de commun diviseur; car si ô' divisoit x"^ etj^* , par exemple , il 

 faudroit qu'il divisât jB -s"" , or il ne peut diviser -s', puisque les trois 

 nombres x ^y ^ z n'ont point de commun diviseur ; il ne peut diviser 

 non plus B , puisque B n'a aucun facteur quarré. Donc x e\ y 

 sont premiers entr'eux j par la même raison a? et z le sont ,. ainsi 

 que y et z.. 



Je dis de plus , que \A ^X. B peuvent être supposés positifs ; 

 car on ne peut faire à l'égard des signes des termes de notre équa- 

 tion ^ que les trois suppositions suivantes : 



x''--Ay''=-\-Bz' 



x''—u4y'' — — Bz'- 



x^ ■{■ Ay^= ^ Bz" 



( J'omets la combinaison x"" + -^y"" = — i? <s% parce qu'on voit bien 



qu'elle est impossible. ) 



De ces trois combinaisons, la seconde coincide avec la troisième 

 par une simple transposition ; or si on multiplie celle-ci par B , 

 et qu'on fasse Bz=^z' ^ ^B^=A' ^ on aura 



z"-— A' y" = B x\ 

 Donc l'équaiion à résoudre peut toujours être ramenée à la forme 



x-'-^By'^^ALz^ 



