58 THÉORIE DES NOMBRES, 



d'abord que cette équation étant la même que x"- — ^ z" ^jy* , on 

 peut , sans diminuer la généralité , supposer que le coefficient du 

 second membre est le plus grand des deux. En cas d'égalité , la 

 réduction que nous allons indiquer auroit toujours son effet. 



Soit donc proposée l'équation x'' — Bj"" =^z^ dans laquelle on 

 suppose à-la-fois ^ > ^ , ^ et B positifs et dégagés de tout 

 facteur quarré. 



Nous avons déjà prouvé que ^ et j^ sont premiers entr'eux j de- 

 là il suit que y et ^ sont également premiers entr'eux , car si y" et 

 ^ avoientun commun diviseur 9 , il faudroit que x'' fût aussi divi- 

 sible par 9 , et ainsi x^ etj^" ne seroient pas premiers entr'eux. 



Mais puisque y et ^ sont premiers entr'eux , si on suppose 

 que l'équation proposée soit résoluble , et qu'ainsi on puisse trouver 

 des valeurs déterminées de x et j , telles que ^ = Jf, jK = -^> 

 on pourra aussi (n°. i3) satisfaire à l'équation du premier degré 



dans laquelle M^ N, ^ seroient des nombres donnés , premiers 

 entr'eux , et /z , y' deux indéterminées. 



Donc en général , sans connoitre ces solutions particulières 

 x^=M t y ^^ N ^ on peut supposer x=^jiy — ^y' , /z et j^' étant 

 deux indéterminées , et en substituant cette valeur dans l'équation 

 proposée , on aura , après avoir divisé par ^4 , 



(^-^) y' — 2 nyy' + ^ y'^ = z\ 



Mais puisque y et ^ sont premiers entr'eux , cette équation ne 



, . n'— B . , , , . c • 



peut subsister , a moms que — — ne soit égal a un entier, boit 



cet entier = u4' h^ , h^ étant le plus grand quarré qui peut en être 



diviseur , on aura n" — B = ^ ^' h"^ , et l'équation à résoudre 



deviendra 



^' Jc~y''—~ 2 nyy' -f ^y'"" = z". 



Nous donnerons ci-après les moyens les plus simples pour déter- 



mipejrun nombre n , de manière que — soit un entier. Il suffit, 



pour le présent , d'observer que s'il y a une valeur quelconque de 

 n qui rende n'^-^B divisible par.^, cette valeur peut être aug- 



