4o THÉORIE DES NOMBRES. 



(20) Si on a encore ^' > ^ , on pourra semblablement de Péc^ua- 

 tion :ï;''^ — By'' = ^' z''^ déduire une seconde transformée 



dans laquelle ^A'^ sera <C~^' et toujours positif. Il n'y aura point 

 de nouvelle condition à remplir pour obtenir cette seconde trans- 

 formée , car ayant déjà trouvé 



si on fait « = f* ^' + w' , et qu'on prenne l'indéterminée [x de 

 manière que ri soit < \ ^\ il est facile de voir que — — — sera 

 un entier positif moindre que \^' ; on fera en conséquence 



^u4!^ étant plus petit que ^^' et ne renfermant aucun facteur 

 quarré. 



S'il arrive que yi" soit encore plus grand que B , on continuera 

 ce système de transformées , où B est constant , jusqu'à ce qu'on 

 en trouve une 



x^^By^—Cz^ 

 dans laquelle C sera positif et < B, 



(21) Mais après avoir fait passer dans le second membre le terme 

 qui a le plus grand coefficient , ce qui donne 



x^'-r^Cz'^By^, 

 on peut procéder semblablement à la réduction du coefficient B 

 par un second système de transformées 



x'^--Cz"-z=zB' y"" 



x'''^Cz''==By^ 



&c. 

 dans lesquelles les coefficiens B', B^\ &c. seront positifs , et dimi- 

 nueront suivant une raison au moins quadruple , et ainsi on par- 

 viendra bientôt à une transformée 



x^-^ Cz^ r= Dy , 



dans laquelle le coefficient D sera moindre que C. 



Or la suite des nombres positifs et décroissans ^ ,B, ^j -^> &c, 

 ne sauroit aller à l'infini 5 elle se terminera nécessairement par 



l'unité , 



