PREMIÈRE PARTIE. 4i 



Punité , et lorsqu'on sera arrivé à ce terme , la résolution de la 

 dernière transformée , qui est donnée immédiatement , fera con- 

 noître celle de toutes les précédentes , et par conséquent celle de 

 Péquation proposée. 



Cette méthode n'est pas donnée ici comme la plus simple ni la 

 plus courte , pour arriver à la résolution effective de l'équation 

 proposée : mais la marche qu'elle prescrit pour opérer la diminu- 

 tion successive des coefficiens, est très-lumineuse, et nous en dédui- 

 rons bientôt un théorème général sur la possibilité des équations 

 indét'erminées du second degré. 



(22) Il est bon de prévenir une difficulté qui auroit lieu , si deux 

 coefficiens étoient égaux. 



Soit donc ^=^B } dans ce cas , pour faire en sorte que — 



soit un entier , il semble qu'on doit faire ;z = , et alors on auroit 

 ^' k^ = — 1 , ou ^' = — 1 , ce qui ne s'accorde pas avec la sup- 

 position qu'on fait toujours que ^' est positif. Mais cette difficulté 

 est facile à résoudre , car si au lieu de prendre 7z=:0, on prend 



n = ^ , on aura —-— =^ — 1 , ce qui seroit la valeur de 



u4' h^. On voit donc que l'équation x^ — ^ y''z=. ^ z" aura pour 

 transformée x"" — ^ y'^^= ^' z'^ dans laquelle ud' sera < ^ et 

 positif. On feroit de même , si dans le cours de l'opération^ on 

 trouvoit C= 5 , ou Z? = C, &c. 



Cette remarque fait voir y que dans le cas de ^ = i? et autres 

 semblables , la méthode n'en est pas moins applicable , et qu'ainsi 

 elle a toute la généralité nécessaire. Au reste , le cas dont il s'agit 

 est susceptible d'être traité d'une manière plus simple et plus directe; 

 car si on a l'équation x'' — ^y''^= ^ <s% on voit d'abord que x doit 

 être divisible par ud , et ainsi on peut faire a; =^i/ , ce qui donnera 



Dans cette équation , ^ et ^ sont premiers entr'eux ( sans quoi 



jK et z ne le seroient pas) j ainsi on peut su^iposer / = /z<s + ^j^', 



ce qui donnera 



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— — — z" ■\- inzy ■'^ui y y ^=u*. 

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