43 THÉORIE DES NOMBRE S. 

 Celle-ci ne peut subsister, a moins que — ne soit un entier, 



j^appelle cet entier ^' >&% k"" étant le plus grand quarré qui en est 

 diviseur, et j^aurai 



Multipliant de part et d'autre par ^' i'% et faisant X:''^'z + ny=z'y 

 h u = u' , on aura 



z' z ■\'y y=.^'u!u' ; 



et ainsi Féquation proposée z"^ -Y y ^= -^ u^ sera ramenée à 

 une équation de même forme dans laquelle ^' est positif et 



< 7 ^ -I -. Continuant ainsi de transformée en transformée , les 



nombres positifs et décroissans ^ , ^' , ^" ^ &c. auront nécessai- 

 rement pour terme l'unité , et alors la dernière équation étant réso- 

 luble immédiatement , on en déduira la solution de toutes les 

 précédentes. Il n'y aura dans ce cas d'autre condition pour la 



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possibilité de l'équation , que la première — — = 6", car les autres 



sont une suite de celle-là. 



Dans la solution générale , au contraire , outre la première 



condition — — =é', il faut qu'à mesure qu'on passe d'un système 



de transformées à un autre système , on puisse satisfaire aux diverses 



conditions — - — =é? , — — — z= <?, et ainsi des autres. C est ce 



qu'on examinera plus particulièrement dans le J. suivant. 



