48 THÉORIE DES NOMBRES, 



premiers de -^" , il s'ensuit qu'on pourra toujours satisfaire 



à Féquation — — — = e. 



(26) Donc Péquation x"" — By^^=^ z" sera résoluble, si l'on 

 peut satistaire aux deux conditions — — =^ , — = — =e,et si, 



.^ -LJ 



de plus, dans la première transformée x'^^-Bj'^^=-^' z^'yOn peut 

 satisfaire à la troisième condition — = e. 



Cette dernière condition seroit superflue , comme on va bientôt 

 le démontrer , si les deux nombres ^ et B étoient premiers entre 

 eux ', mais la proposition générale est susceptible d'être présentée 

 d'une manière à-la-fois plus simple et plus élégante. n 



Observons d'abord que toute équation indéterminée du second 

 degré peut être ramenée à la forme ax^-^- by"" = e z^ dans laquelle 

 les coefficiens a, b ^ c sont positifs, n'ont deux à deux aucun 

 diviseur commun , et de plus sont dégagés de tout facteur quarré. 

 Ce qui regarde les signes est manifeste , puisque toute équation 

 formée avec trois quantités , exige qu'une de ces quantités soit 

 égale à la somme des deux autres. Ensuite si a contenoit un facteur 

 quarré ô*, on feroit a= S^ a , x=9x^ , et le terme ax" se chan- 

 geroit en c[f x''' , où a' n'a plus de facteur quarré. Enfin , si deux 

 des trois coeflîciens a , b , c , par exemple , o et b, avoient un divi- 

 seur commun B , on feroit a = aS,b = b'Q^cQ = c^ z= z' Q , 

 et l'équation a x" -1- b y"" = cz" , seroit changée en une autre 

 a';c^+ b' y" = c z'' dans laquelle a' et b' n'ont plus, de commun 

 diviseur. 



Cela posé, la nouvelle équation a^'+ by^^=^c z^ étant mise sous 



la forme f j — bc{-\ z=z a c , peut être assimilée à la for- 

 mule x"" — By^^= A ^% et la comparaison donnera B^=bc ^ ^^=-ac, 

 Pn aura donc d'abord les deux conditions à remplir 



a""— b c C° — ac 



ac oc 



e. 



Soit 



