PREMIK REPARTIE. 49 



Soit a:=ici/.^ C=:cv , ces conditions deviendront 



c/w." — b c v^ — a 



— e , — = e, 



a à 



Pour exprimer la troisième ~ — = e , observons qu'on a 



a* — B:=^ ^' k'^youcy.'' — ô=«^'A% et comme a i^'' n*a point 

 de diviseur commun avec bc , la. dernière condition sera remplie 

 si Ton a 



7 =^- 



oc 



Or pour que le numérateur de cette quantité soit divisible par b , 



il suffit que a k" C C' — ci/J" le soit, ou bien mettant cv"" au lieu de 



a en vertu de la seconde condition , il faudra que h'^C'^v'^ — //^ soit 



divisible par b , ce qui est toujours possible , en déterminant ^^ 



, . kvQ'zkzy. T-» T 



d après 1 équation = ^. De-la on voit que lorsque^ et 



B n'ont pas de commun diviseur (ou lorsque c = 1 ) , la troisième 



condition est remplie par une suite des deux autres. 



Mais s'ils ont un commun diviseur c , il restera encore à satis- 



^ . , , ^. . ah'C'Q'-^b . , aK'-\-b 



iaire a la condition r= ^ ou simplement = ^. 



c "- c 



Voici donc un théorème général , d'après lequel on pourra décider 



immédiatement , et sans aucune transformation , si une équation 



indéterminée du second degré est résoluble ou ne l'est pas. 



Théorème. 



(27) Etant proposée l'équation ax'^-\-by'^^= c z" dans laquelle les 

 coefficiens a , b ^ c , pris individuellement , ou deux à deux , n'ont 

 ni diviseur quarré , ni diviseur commun, je dis que cette équation 

 sera résoluble , si on peut trouver trois entiers k , (/. ^ v tels que 

 les trois quantités 



«A* +6 c/^* — b cv^ — a 



c ' a ' b 



soient des entiers : elle sera au contraire insoluble , si ces trois 



conditions ne peuvent être remplies à-la-fois. 



