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D'où Pon voit que puisque les nombres D et isont entiers dans 



11 • *• 1 * ^^ + ^ V^ + a ., 

 les deux premiers quotiens-complets ■ , ~ ils 



t b 



le seront nécessairement dans tous les autres à l'infini. 



La valeur qu'on vient de trouver pour D' , peut aussi se mettre 

 sous la forme D' =^ D° -^ y. (I — T) ; ainsi des deux quotiens- 

 complets consécutifs 



on déJuîra Te quotient- complet suivant — J , au moyen des 



formules 1' z=^y.D — J, D' =i D°-t- y (I — ï) ; ce qui réduit la loi 

 de continuation à un grand degré de simplicité. 



(3o) Supposons maintenant que — ^ , - soient deux fractions 



v/^ -f I 

 consécutives convergentes vers \/^ s soit ~ — le quotient 



complet qui répond à la fraction - ^ on aura , suivant le principe 

 connu ,, 



d'où Ton tire les deux équations 



pi ■\- [f D=r.q^^ 

 qI-\-q°D==p 



lesquelles donnent 



(pcf^p'^c/Jl^qq'^^^ — pp'^ 



(pf—p''q)D=^pp-^^qq. 

 Or,par la propriété des fractions continues (Jn^. 6) onsipq" — p^qzr^-^- 1 ^ 



SI - est > \/^ ^ et pq° — p'^q = — 1 j si - est < y/^, d'où Toii 



