54 THÉORIE DES NOMBRES. 



volt que j>q'' — p° q a toujours le même signe que pj) — Aqq ^ 

 et qu'ainsi TD est toujours positif. Ces valeurs prouvent encore 

 immédiatement que D el I sont toujours des entiers ; je dis de 

 plus que /est toujours positif j car d'un côté l'équation qI'\-q°D^=^p 



donne i- = T ^ — Jj : D , et puisque q° est < ç' , il faut qu'on 

 ait Z? > - — J , ou Z? > \/-^ — i ; d'un autre côté , on a 



' — > iJi , donc D < \/^ + J. Or ces deux conditions se- 



roient incompatibles , si / étoit négatif. 



Cela posé , il est facile de trouver les limites que les nombres / 

 et D ne peuvent surpasser; l'équation ^ — P = DD^ donne 

 I<i j/-^, ainsi Jne sauroit excéder l'entier a compris dans s/ ^ -, 

 et puisqu'on a d'ailleurs i' + I^=iJ.D , il s'ensuit que 2 a est la 

 limite de Z? , et en même temps celle du quotient ^. 



Mais puisque la fraction continue qui représente la valeur d'une 

 quantité irrationnelle doit s'étendre à l'infini , et qu'il ne peut y 

 avoir qu'un certain nombre de valeurs différentes tant pour I que 

 pour D , il est nécessaire que la même valeur de J se rencontre 

 une infinité de fois avec la même valeur de D ; or dès que l'on 



retrouve pour le quotient-complet — une valeur deja trou- 

 vée y il est clair que les quotiens ou termes de la fraction continue 

 doivent être les mêmes et dans le même ordre que ceux qu'on a 

 déjà obtenus J donc la fraction continue qui exprime \/^ sera 

 composée ( au moins après quelques termes ) d'une période cons- 

 tante qui se répétera à l'infini , comme on l'a déjà vu dans un cas 

 particulier , n''. 28. 



(3i) Il s'agit présentement de déterminer le point précis où 

 commence la période. Nous supposerons que cette période est 

 /^ 5 y' t /^''.... «, et nous désignerons à l'ordinaire la suite des 

 quotiens, et celle des fractions convergentes qui leur répondent 

 jusqu'au commencement de la seconde période , comme il suit : 



