55 THÉORIE DES NOMBRES. 



Dans celte disposition , - est la fraction convergente qui répond 



au dernier quotient /^ de la première période «, , é", , . a, ^ j soit z 

 le quotient- complet correspondant, on aura z — ^= \/ ^ — «, 

 ou z = y. — <2 -f \/^ , et il en résultera , suivant le principe ordi- 

 naire , 



^ cjz + ç' cjy/^ + çCl^ — aJ-i-q''' 



ce qui fournit les deux équations 



p(lJ. — a)-\-p" = ^q * ', 



ç ([^ — a) + q°z=p. 



La seconde équation donne y- — a -{- — = -, d*où il suit que 



q q 



y — a est le plus grand entier compris dans -; cet entier est égal 



à a , ainsi on a y — a = a , ou y = ^ a. En même temps , puisque 

 q''=p — aq f il s'ensuit que la série des quotiens * , é" , . . . â , a 



qui précèdent y est symmétrique (n^^. n ) , car est l'une 



des fractions convergentes vers \/^ — a , quantité égale à la 

 fraction co;ntinue - i , et cette fraction convergente est 



a ~\ 



précédée de ~ ^ 5 donc puisqu'on a q°=p — '<^q y il f^ut que 



z ... 



la période et, 6",. . . 9 , a. soit identique avec son inverse a, 6. . . C, a. 

 Et de toutes ces remarques, il suit que les quotiens provenans du 

 développement de \/^ procèdent suivant cette loi : 



ût^'oe.jé',^,,. 7',é',ût,2ûc_;ct, é", y. , , 7î^5 a. j 1 a y &c. 

 loi qui deviendroit encore plus régulière , si le premier quotient 

 étoit 2 a ou zéro 5 c'est-à-dire s'il s'agissoit du développement de 

 /^±«. 



Il est important d'observer , que toute fraction convergente - , 



qui répond au quotient 2 a dans une période quelconque , est telle 

 qu'on i^p'—^A q''z=z:±ii . Car lorsque le quotient /v. = 2 a , l'équation 

 P + J = Z?//. , où J et i° ne peuvent excéder <2 (n". 3o) , don- 

 nera nécessairement 1 =^ l"" =:. a , et Z? = 1 , donc l'équation 



Cp<t-P'<l) 



