PREMIÈREPARTIE. 5; 



(pq" — p'q) D—p^ — ^q% devient j3' — u4q^=zz±zi, savoir +1, 



si -est > V^-^j et — 1 dans le cas contraire. 



Puisque le quotient 2 a se trouve nécessairement dans le déve- 

 loppement de \/^ , il s'ensuit donc que l'équation x* — ^y'^=^ dbi 

 est toujours résoluble (au moins avec le signe -}-) , quel que soit 

 le nombre ^ , pourvu qu'il ne soit pas un quarré parfait j et 

 on voit en même temps qu'il y aura une infinité de solutions de 

 cette équation , puisque le quotient 2 a se répète une infinité de 

 fois dans les périodes successives. 



Au reste , si le nombre des termes de la période * , C, . . ^, « , 2 a 

 est pair , toutes les fractions qui répondent au quotient 2 a dans 

 les diverses périodes , seront plus grandes que \/ ^ , et ainsi dans 

 ce cas , ces fractions ne satisferont qu'à l'équation x"" — ^j/'*=:+ 1. 

 Mais si le nombre de termes de la période est impair , alors la 

 première fraction qui répond au quotient 2 a sera plus petite que 

 ^ A , la seconde plus grande , et ainsi alternativement ; de sorte 

 que dans ce cas , l'équation x* — ^j^* = — 1 sera résoluble aussi 

 bien que l'équation x"" — ^jk°= + 1 , la première par les fractions 

 convergentes de rang impair , la seconde par celles de rang pair. 



H 



