58 THÉORIE DES NOMBRES. 



5. Vî. Rés OLUTi ON en nomlyres entiers de V équation 

 indéterminée x"* — A y- = ^ D , D étant < y' A. 



(34) JNoTTS avons fait voir dans le paragraphe précédent, que 

 l'équation x"^ — u4y°'^=^ + 1 est toujours résoluble d'une infinité de 

 manières , quel que soit ^j pourvu qu'il ne soit pas un quarré 

 parfait. Quant à Féquation x"" — -^jK* = — ' 5 ^^^^ n'est résoluble 

 que dans certains cas particuliers j et comme la solution , lorsqu'elle 

 est possible , doit se trouver parmi les fractions convergentes vers 

 ■\/^, la condition nécessaire et en même temps suffisante pour 

 la possibilité de cette solution , est que la période de quotiens 

 donnée par le développement de \/^ soit composée d'un nombre 

 de termes impair. 



Les solutions de l'une et l'autre équations se tirent immédiate- 

 ment des fractions convergentes vers \/ ^ , savoir de celles qui 

 répondent au quotient 2(2 (a étant l'entier compris dans \^^) , 

 et il y en a une infinité , puisque ce quotient , ainsi que les périodes 

 qui le comprennent , se répète une infinité de fois. Le numérateur 

 de chaque fraction est une valeur de a; , et son dénominateur , 

 la valeur correspondante de y. 



Nous ferons voir ci- après comment on trouve a priori l'expres- 

 sion générale des diverses fractions qui répondent à un même 

 quotient placé de la même manière dans les périodes successives. 

 i-,dns le cas présent , il suffit de faire connoître le résultat qui 

 d'ailleurs se vérifie immédiatement. 



Soit - la première et la plus simple des fractions convergentes 



qui répondent à un même quotient 2 a ; si l'on a /}^ — ^q''^=^-\- 1, 

 ou si le nombre des termes de la période est pair , l'équation 

 a^* — ^j/'= + T sera , comme nous l'avons déjà dit, la seule 

 résoluble. Pour avoir alors la solution générale , il suffit d'élever 



