p R E :^r I È R E P A R T I E. 59 



p ■\- q y/^ à une puissance quelconque m , et d'égaler le résultat 

 k X -V y \/ ^. En effet , si Ton a 



X et y étant rationnels , on aura en même temps 



Multipliant ces deux équations , le produit sera 



0?* — ^jK*= (p'^—'^q'T^^ 1"=!. 

 Donc en effet les valeurs trouvées pour a; et y satisferont à Téqua- 

 tion ^* — ^ y'^ = 1 , quel que soit Texposant m. On peut aussi avoir 

 séparément les valeurs de ^ et jk par les formules 



X 



y 



^Cp-^-q^^)-^ (p^qy/AJ 



1 \/ A 

 lesquelles donneront toujours des nombres entiers pour * et^. 



(35) En second lieu , si on a p"" — Aq^r= — t , ou si le nombre 

 des termes de la période est impair, alors il est visible qu'on 

 peut satisfaire à-la-fois aux deux équations x^ — ^j^^ = + 1, 

 x"" — u4y'^:= — 1 , savoir, à la première, par les puissances paires 

 de ^ + §r V/-^ » et à la seconde , par les puissances impaires de ce 

 même binôme. Car si Ton fait (p ■\- q y/^y' =zx \ y \/ A , on aura 

 ^=--^j^=C— 1/'^=+ 1, et si l'on fait (p-\-q\/ ^y^'^'^x^ys/ ^4 ^ 

 on aura x^ — ^j'*^ ( — \y^-^' = — 1, 



Par exemple , lorsque A= 1 3 , on trouve -= — ,et p" — 1 3<7'= — 1 . 



q 5 

 Donc en faisant (18 + 5 \/i^6y^ =x + y)/i5, on satisfera à l'équa- 

 tion a;» — i3j/'= 1 , et en faisant (i8-\-5 {/idy^+'z^x ■^y{/i:5 y ■ 

 on satisfera à l'équation x* — i3j^* = — 1. 



Les moindres nombres qui satisfont à Téqtfation x^ — iSj/" = 1 , 

 sont donc x=6ici , y= 1 80 , car on a (" 1 8 -|- 5 / 1 'ôy—Q^ig + 1 80 / 1 3. 

 Quelquefois les nombres les plus simples qui satisfont à une 

 équation donnée x^ — ^j^* = ri: 1 sont beaucoup plus considérables. 

 Par exemple , la solution la plus simple de l'équation :t* — 21 iy^=-i y 

 est ^ 



X = 278 354 3/3 65o ^T- ^^7(4% -JLI 

 j.= .9 '62 705 353, -. Sà;/«ï>/ >r>2, 



