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et la solution la plus simple de l'équation^* — 66587 jk* = 1) est 



x= 166 100 726 267 977 3i8 398 'J07 998 4G2 201 524 702 oi4 6i'6 5o3 

 jy= 698 253 616 4i6 770 487 j57 yj5 çjio 222 021 002 3gi oo3 072. 



D'où Fon voit combien il est nécessaire d'avoir, pour la reclierche 

 de ces nombres , une méthode sûre et infaillible , telle que celle 

 que nous avons exposée -, car on se tromperoit beaucoup , si après 

 avoir essayé inutilement la résolution par des nombres médiocrement 

 grands , on concluoit qu'elle n'est possible en aucuns nombres» 



(36) Fermât est le premier qui ait paru connoître la résolution 

 de l'équation x' — ^^^'= 1 , du moins il proposa ce problême 

 comme par défi aux Géomètres anglois , et mylord Brownker en 

 donna une solution qu'on trouve dans les (Euvres de Wallis , et 

 qui .est rapportée à»peu-près textuellement dans le second volume 

 de l'algèbre d'Euler. Mais d'un côté , Fermât n'a rien publié sur 

 sa propre solution , et de l'autre , la méthode des Géomètres an- 

 glois , quoique fort ingénieuse , n'établit cependant pas d'une 

 manière certaine , que le problême soit toujours possible. Il restoit 

 donc à démontrer, que l'équation x'' — Ay^^=- 1 est toujours réso- 

 luble en nombres entiers , et c'est ce que Lagrange a fait d'une 

 manière aussi élégante que solide dans les Mélanges de Turin , 

 tome IV, et ensuite dans les Mémoires de Berlin , ann. 1767 j cette 

 démonstration, ainsi que la méthode de solution qui l'accompagne , 

 doivent être regardées comme l'un des plus grands pas qui aient 

 été faits jusqu'à présent dans l'analyse indéterminée. En effet , 

 l'équation ^' — ^j^'^ 1 n'est pas seulement intéressante en elle- 

 même; elle est encore nécessaire dans la résolution de toutes les 

 équations indéterminées du second degré , où elle sert à trouvei^ 

 une infinité de solutions quand on en connoît une seule. 



L'importance de cette équation a engagé Euler à donner , dans 

 l'ouvrage cité , une petite table des valeurs les plus simples de x 

 et y pour tous les nombres u4 depuis 1 jusqu'à 100. Lagrange y 

 a joint , dans ses additions , les quotiens des fractions continues 

 d'où ces valeurs peuvent être tirées. 

 "^ Ayant eu occasion autrefois de m'occuper de cet objet, même 



