PREMIÉREPARTIE. 6i 



avant d^avolr connoissance des travaux d'Euler et de Lagrange 

 .qui y ont rapport , j'avois calculé une table des plus simples frac- 



tions — qui salisiont a I équation nt — v:/ 72' = =±= i , pour tout 



nombre non quarré yi depuis 2 jusqu'à ioo3. Celte table pouvant 

 faire plaisir aux amateurs de Fanalyse indéterminée, je l'ai jointe à 

 ce Traité. Elle servira à résoudre presque sans calcul toutes les 

 équations a;* — ^ y"'^=zi=:D ^ dans lesquelles D est < \/^ ^ et 

 -^< ioo4. 



L'inspection seule des chiffres qui terminent les nombres m et n 

 fera voir s'ils satisfont à l'équation m'' — ^ /z^ = -}- 1 , ou à 

 l'équation m^ — ^ «' = — 1. Quand ils satisfont à cette dernière, 

 il faut faire (m -f n^^/ =p -}- q\/ ^ , afin d'avoir les moindres 

 nombres/» et ç qui satisfont à l'équation x'' — ^y^^=^ -{- i : on a 

 alors p=.n nt — \ , q =^ 2 mn. 



(37) Venons maintenant à la résolution de l'équation proposée 

 ^^ — ^j^ =^z±.D. On a vu (n°. 10) que lorsque Z? est < V^^, 



X 



comme nous le supposons . la fraction - doit être l'une des frac- 



y 



lions convergentes vers \/^. Il faudra donc développer \/^. en 

 fraction continue, et calculer les valeurs successives des quotiens- 



complets — j SI parmi ces quotiens-complets , il s en trouve 



un dont le dénominateur D soit égal au second membre de l'équa- 

 tion proposée , on en déduira une solution , soit de l'équation 

 x^ — ^jk' = + 7? , soit de l'équation x^ — ^y'' = — D :\\ faudra 



pour cela calculer la fraction convergente - qui répond au quo- 

 tient-complet dont il s'agit 5 si cette fraction est de rang impair 

 ( ^ étant censée la première ) , elle sera plus grande que \/ ^ , 

 et ainsi on aura p'' — ^q"" = ■{■ D j si elle est de rang pair, on aura 

 p^—^q^^'—D. 



II peut se trouver plusieurs fois le même nombre D dans la même 

 période , et il se rencontrera toujours au moins deux fois , puisque 

 la période est symmétrique ( excepté lorsque le quotient auquel 



