63 THÉORIE DES NOMBRES. 



répond - est le terme moyen de la période, abstraction faite de 



son dernier terme 2a). On aura alors autant de solutions soit de 

 réquation a;* — ^JK* =^î soit de l'équation x'' — ^jk' = — D , les- 

 quelles auront lieu également dans toutes les autres périodes. 



Si on ne rencontre point le nombre D parmi les dénominateurs 

 des quotiens-complets dans la première période , on sera assuré 

 que l'équation x" — ^j/^ = + ^ et l'équation x"" — -^jr* == — /?, ne 

 peuvent se résoudre ni l'une ni l'autre en nombres entiers. 



(38) Mais si on a une ou plusi^rs solutions données par la pre- 

 mière période des quotiens , comme on vient de l'expliquer , on 

 pourra déduire immédiatement de chacune de ces premières solu- 

 tions , une formule générale qui contienne une infinité d'autres 



solutions dépendantes de cette première base. Soit - la fraction 



convergente qui donne p"" — ^ç^ = D j soient en même tems ^ et m 

 desnom.bres quelconques qui satisfont à l'équation f" — ^ u^=: 1 ; 

 si on multiplie ces deux équations entr'elles , le produit pourra être 

 mis sous la forme 



de sorte que l'équation x'' — ^j^^ ^=^ D sera résolue généralement 

 par les formules 



X = pt:±iA qu 



J— pu^qt; 



et quant aux valeurs de iî et z^ , nous avons déjà fait voir que si /tz et « 

 sont les moindres nombres qui satisfont à l'équation nv" — ^11""=^ 1 , 

 et qu'on prenne pour k un entier quelconque , on aura ^ 



(m-\-n\/^y'~t-^u\/A. 



On voit donc qu'en partant de différentes solutions primitives com- 

 prises dans la première période, on aura autant de formules géné- 

 rales qui renfermeront chacune une infinité de solutions de l'équa- 

 tion proposée. 



D'ailleurs les valeurs que nous venons de donner pour x ^X. y 

 ont également lieu, soit que D soit positif, soit qu'il soit négatif 5 

 elles supposent seulement que X> a le même signe dans l'équation 



