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5. VII. Théorèmes sur la possibilité de Véquation 

 x--—4Ly^=: — 1 , 2 ou — 2, a étant un nombre premier, 



(42) t^j a est un nombre premier de la forme 4n+ 1 , Véquation 

 X* — ay*=— 1 sera toujours possible en nombres entiers. 



Soient p et q les nombres les plus simples (autres que 1 et o) 

 qui satisfont à l'équation /?' — a §'* = 1 j q doit être pair , car s'il 

 étoit impair, q* seroit de la forme 8/z+ 1 , et a§'*-i-i de la forme 

 4/2-1-2 qui ne peut convenir à aucun quarré. Puisque q est pair, 

 faisons q =^2 mn ^ m et n étant premiers entre eux , on aura 

 jp'— 1 ^=iam*n^ ; mais p étant impair, et par conséquent jo* — 1 

 divisible par 8 , il faut encore que Fun des deux nombres m et n 

 soit pair et Eautre impair. Supposons n impair , alors Féquation 

 f/7-f-i^ (p — 1^ =:4<3m° /z* , dans laquelle p-j- 1 ei p — 1 ne peu- 

 vent avoir que 2 pour commun diviseur , se décomposera néces- 

 sairement de Eune de ces quatre manières : 



n-j-l=2ûrw* n+l=277Z* /j-j- 1=20/2' ...J5+ 1=2/2» 



(0 12) (3) (4) 



^ p — 1=:2/Z» p — i=i2an^ p — i=2//z* p — i=2a/»» 



Là seconde et la quatrième combinaison donneroient 1 =: //2' — an* 

 ou 1 = 72* — am^ ^ et ainsi p et q ne seroient pas les nombres les 

 plus simples qui satisfont à Eéquation/j^— ût5'*=i , contre la sup- 

 position.. Restent donc la première et la troisième qui donnent 

 — 1 =r 72* — a m" ou — 1 = /72^ — a n^ . Dans Eun ou Eautre cas y 

 Féquation x^ — ay"^ = — 1 est résolue , et ainsi la proposition est 

 démontrée 5 cependant puisque m est pair et n impair , il est facile 

 de voir que Féquation n^ — (3/ra" = — 1 ne sauroit subsister j il w^y 

 a donc que Féquation m^ — a/2*=— 1 qui puisse avoir lieu , et qui 

 existe nécessairement. 



Corollaire. Il résulte de ce théorème, que lorsque a est un 

 aombre premier de la forme 4 /2 + 1 , tout nombre N qui est de \% 



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