€& THÉORIE DES NOMBRES. 



forme :»7* — ay"^ est en même temps de la forme ay'^ — at*. Cat 

 puisqu'on peut alors supposer — i = m" — an" ^ on aura 

 jN'=(x'' — aj^) (arû — rrC)^=^ a(mf +nxX — (mx + any)". 



(43) SI a est un nombre premier de la forme 8n + 3 , V équation 

 X* — a y** = — 2 sera toujours possible en nombres entiers. 



Soient p et g les moindres nombres qui satisfont à l'équation 

 p"^ — a5'^ = i j si on suppose d'abord q impair, et qu'on fasse 

 g=zmn , m et n étant premiers entr'eux , l'équation p"^ — i = a g»* 

 ne pourra se décomposer que de l'une de ces deux manières : 



La seconde combinaison donneroit '2=-m^ — an"" , équation impos- 

 sible , car puisque m et n sont impairs , la quantité m" — a n"" est 

 de la forme 8/C^ + i — ^8 72 + 3^ ^8/2+1^, qui se réduit à la 

 forme 872— 2 et ne peut être égale à 2. Donc la première combi- 

 naison seule est possible ^ et si elle a lieu , on aura tz' — « m' = — 2. 

 En second lieu , si q est pair, et qu'on fasse q^imn^ on aura 

 p"" — 1 ■==. ^ a ni" n"" , et comme p° — 1 est de la forme 8 /: , on voit 

 encore que l'un des nombres m et tz doit être pair et l'autre impair j 

 soit n celui-ci, et l'équation précédente oùjo-f-i et p — 1 n'ont 

 que 2 pour diviseur commun , ne pourra se décomposer que de 

 l'une de ces quatre manières : 



+ l = 2am'') Jt7 + l = 2W'''> 



— 1 = 2/2" y^ jD-— l=S«/2»3 ^^^ 



+ I = 2a7zM ^+1 = 2.^ ^ 

 1 = 2/72' J V 1=20/720^^ 



jt)+ 1 = 



J7— 1 = 2/72"-^' p 



La première combinaison donne ri"-^ am'^ ■= — 1 , ce qui n'est pas 

 possible , car puisque n est impair et m pair , le premier membre 

 est toujours de la forme 4 /z -f- 1. 



La seconde combinaison donne 1 =772* — <2 72% et ainsi/» et q ne 

 seroient pas les nombres les plus simples qui satisfont à l'équation 

 p" — c g'* = 1 , ce qui est contre la supposition. 



