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La troisième combinaison donne — 1 = /re*— -a /z* , équation im- 

 possible^ parce que le second membre est de la forme 4^ — (Sn+5) 

 (8^ + O ou 4 j H- 1. 



Enfin , la quatrième donneroit 1 = tz* — am* , ce qui ne peut 

 encore s'accorder avec la supposition faite que p et ç sont les 

 nombres les plus simples qui satisfont à l'équation p* — ag''z= 1. 

 ' Donc il n'y a de possible , parmi toutes ces combinaisons , que 

 la première du premier cas , laquelle donne n" — am^= — 2 , tandis 

 qu'on a ip ■= it' •\- a tti" ^ et q •= m n. Cette combinaison a donc lieu 

 nécessairement , et ainsi l'équation x'' — aj'* = — 3 , est toujours 

 résoluble. 



Remarquez qu'étant donnés les deux nombres netm qui satis- 

 font à l'équation 72* — am'^=^ — 2 , on en tireroit/? et q par l'équa- 

 tion (n-\-ni\/ ay=:^2p-\-iq\/ a ^ et réciproquement étant donnés 

 p et 2^, on en tirera 72 et ttz par l'équation \/ (ip-\-iq\/ a)=^n-\'m\/ a^ 



ou par les valeurs n^=^y/ (p — 1^, m=^\/ (- \ On peut re- 



marquer encore que dans le développement de \/^a en fraction 



continue , la fraction convergente — répondra au quotient moyen 



de la première période , et ce quotient sera égal au plus grand 

 entier impair compris dans \/ a. Voyez n*'. 3g. 



(44) Si a est un nombre premier de la forme 8n — 1^ V équation 

 X* — a y'' =2 sera toujours résoluble en nombres entiers. 



Soient toujours j^ etg^ les moindres nombres qui satisfont à l'équa- 

 tion p^ — a ç'* = 1 , on peut faire q :=.mn ou §' = 2 m'n , selon 

 que q est impair ou pair j ce qui donnera les quatre décompositions 

 suivantes de l'équation /j* — \^= aq"^ \ 



î / > /? + 1 = ^* 1 , . 



p •\- \ = am" 



p 1 = 72* J " p 



p + i=z2am'^l p+j=2m"'} 



J3— 1=272" (^^ /J— 1 = 2072") ^ '^' 



La première donneroit 2 = am^ — 72' , équation qui ne peut 

 siibsister , parce que 772 et tz étant impairs , le^second membre est 



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