B8 THÉORIE DES NOMBRES. 



de la forme (S^ — i) (Sh-^i) — (8l+i), laquelle se réduit à 



8e — 2 , et ne peut être égale à 2. 



La troisième donneroit 1 =a m'^ — tz* , équation qui ne peut 

 avoir lieu non plus 5 car si m' est pair et n impair , le second 

 membre est de la forme 4^ — 1 ; si m' est impair et n pair , il est 

 encore de la forme 4 h — 1 , et enfin si m' et n sont tous deux 

 impairs ( cas qui d'ailleurs ne peut avoir lieu ) , le second membre 

 seroit pair. 



La quatrième combinaison donneroit 1 =^ m'" — «72% ce qui ne 

 peut avoir lieu, puisque p et ç sont supposés les moindres nombres 

 qui satisfont à l'équation x"" — aj* = i. 



Donc enfin la seconde combinaison est la seule possible et néces- 

 saire 5 elle donne 2 = w^ — a 72% et ainsi l'équation proposée 

 x'' — a^'' = 2 est toujours résoluble. 



On a en même temps 1 p ^= rrf ■\- a Tt" ^ q-=mn, ce qui donne 

 2jD + 2§'\/«= (m-^n\/ay ', d'où l'on voit que les valeurs de m 

 et n étant connues , on en conclut celles de p et 5^, et réciproque- 

 ment étant donnés j> et 5^ , on en conclura m etn soit par l'équation 

 \^(2p-\-2q}/a)=^m-\'n\/a ^ soit par les formules m = \/(p-]ri)^ 



On peut remarquer encore que la fraction — répondra au quo- 

 tient moyen dans la première période qui résulte du développement 

 de v^a en fraction continue. 



