PREMIÈRE PARTIE. 69 



§. VIII. Réduction de la formule Ly^'-hMyz-f-Nz^ 

 à P expression la plus simple. 



(45) JJans cette formule, on suppose que les coelïîciens L,M, iV 

 sont des nombres donnés (tels cependant qu'ils ne puissent être 

 divisés tous trois par un même nombre ) ; les quantités y et z , au 

 contraire , sont des indéterminées auxquelles on peut attribuer 

 toutes les valeurs possibles en nombres entiers positifs et négatifs , 

 avec cette seule restriction que y et z soient premiers entr'eux. 

 Il y aura donc toujours une infinité de nombres représentés par 

 la même formule Ly-^Mjz+Nz"; mais en général , cette for- 

 mule est susceptible de différentes formes qui toutes renferment 

 les mêmes nombres , et il s'agit maintenant de déterminer l'expres- 

 sion la plus simple de toutes ces formes. 



Nous considérerons d'abord le cas où M est un nombre pair , 

 parce que c'est celui qui présente le plus d'applications , nous 

 indiquerons ensuite les résultats analogues qui ont lieu lorsque M 

 est impair. 



Soit donc proposée la.£oTm\ile py^ + içy z-^r^t" , dans laquelle 

 'p y q t r sont des nombres donnés 5 si on veut transformer cette 

 formule en une semblable qui n'en diffère que par les coefficieno', 

 il faudra supposer 



y — fy^ m ^' 



^ — gy + nz' 



y et z' étant de nouvelles indéterminées. Cela posé , la substitu- 

 tion de ces valeurs donne la transformée/>y^ + 2 ^y^' + rV*, dont 

 les coefficiens sont 



p=pf' + 2çfg+rg^ 



9'= Pf'n + q (fn + g m) + rgn 



r' = p m" -{■ iq mn -\- r n". 



Or pour que les quantités/,^, m^n, ne restreignent pas l'étendue 



