70 THEORIE DES NOMBRES. 



des indéterminées j)^ et z , dans la formule proposée , il faut que les 

 valeurs dej^' et z' exprimées en jk et ^r , savoir 



nj — mz _, _ fz-^gy 



fn—mg fn^mg 



soient des entiers , indépendamment de toute valeur particulière 

 de j' et de 2 5 il faut donc pour cela qu'on ait/>z — mg^='=izi. De-là 

 on voit qu'on peut prendre arbitrairement deux coefficiens tels que 

 y et g , pourvu qu'ils soient premiers entr'eux , ensuite on prendra 



pour — la fraction convergente qui précède — dans le développe- 

 ment de celle-ci en fraction continue j par ce moyen , la condition. 

 fn — mg=rizi sera remplie , et on aura la certitude que tout 

 nombre compris dans la. {formule pj^-^-içy z+ rz'^ , l'est égale- 

 ment dans sa transformée p'y + 2 q y' z ^ r z "■ , et réciproquement. 

 D'ailleurs ayant supposé y ^X. z premiers entr'eux , il faudra que 

 y' et z le soient aussi , car si y' et z' avoient un commun divi- 

 seur 9 , les nombres j^ et z { d'après les valeurs y=fy''\- Jnz\ 

 z ^= g y' -\- n z') seroient aussi divisibles par 9^ ce qui est contre la 

 supposition. 



Nous observerons de plus , que les valeurs trouvées pour/?', g'', r 

 donnent pV — q'q'^=z(pr — qq) (fn — mgy=pr — qq; d'où il 

 suit que la quantité p r — q q et son analogue p V — q'q' dans la 

 transformée , sont égales et de même signe. 



Cette quantité pr — q"" est celle qui détermine la nature de la 

 formule py''-^- 2qyz-\- rz'' , eu égard aux deux facteurs ay-^-Cz, 

 y y 4- «Tz dont on peut imaginer qu'elle est composée. Si ces facteurs 

 sont imaginaires, la quantité pr — q"" sera positive : s'ils sont ou 

 égaux, ou rationnels , la quantité p r — q''' sera égale à zéro , ou 

 à un quarré négatif : enfin s'ils sont réels , mais irrationnels , la 

 quantité pr-^q" sera égale à un nombre négatif et non quarré. 

 C'est ce qui se voit, en mettant la formule py''+ 2qy z-\- rz* 

 sous la forme 



~ [py-'rqz + z^ (q'—pr)] [py-^qz-^zs/(q*—pr)]. 



