PREMIÈREPARTIE. 71 



Nous examinerons séparément ces difFérens cas 5 mais il faut, avant 

 tout, résoudre le problême général qui suit (1). 



(46) Étant donnée la formule indéterminée py' + 2 qyz-f rz% 

 dans laquelle le coefficient moyen 2 q excède Vun ou Vautre des 

 coefficiens extrêmes ^^ et y y ou tous les deux , transformer cette 

 formule en une formule semblable où le coefficient moyen soit 

 moindre que chacun des extrêmes _, ou au moins n'excède pas le 

 plus petit des deux. 



Supposons 2 q'>p , et dans le cas où Fon auroit à-la-fois 2 q'>p^ 

 et iqy-r , soii p le moindre des deux nombres 7? et r, abstraction 

 faite de leurs signes 5 nous ferons y = y' — mz ^ m étant un coeiE- 

 cient indéterminé , et la substitution donnera cette transformée 



pyy— ('2pm — 2q)yz+ (pm''—2qm + r)z\ 

 Or on peut prendre l'indéterminée m, de manière que 2p m — iq 

 soit plus petit que jo , ou égal kp ; il faut pour cela que m soit l'en- 

 tier le plus proche en plus ou en moins de la fraction donnée 5r- 



Cela posé, faisant j? m — q~q'^ p m^ — ^q m-\-r= r', la trai^ 

 formée sera 



i>yy—'2qyz-\-rz\ 



et l'on aurap r'--q'q'=p r — q% et 2 q'<p , le signe < n'excluant 

 pas l'égalité. 



Puisqu'on a à-la- fois 1 q^ p et 2 q'<p ^ il s'ensuit qu'on aura* 

 §''< q , ce qui est l'objet principal de cette première opération. 

 Maintenant si dans cette transformée le coefficient 2 q\ quoique 

 <7î est encore > r' , on procédera semblablement , et on obtien- 

 dra une nouvelle transformée dans laquelle le coefficient moyen 

 que j'appelle iq" sera <iiq'. Or une suite de nombres entiers 

 décroissans q , q\ q\ q"\ &c. ne sauroit aller à l'infini : ainsi en 

 continuant les mêmes opérations , on parviendra nécessairement 

 à une transformée dans laquelle il n'y aura plus lieu à réduction 

 ultérieure , et qui sera par conséquent telle , que le coefficient 



(1) La solution de ce problême, l'un des plus importuns de l'analyse indéfer- 

 winée , est due à Lagrange. Voyez les Mémoires de Berlin; année 1773. 



