PREMIÈREPARTIE. 73 



je dis que les nombres p et r sont de signes différens ; car s'ils 

 avoient le même signe , pr seroit positif et >4§'*, donc^pr — q* 

 seroit positif et > 3 ^% quantité qui ne pourroit être égale à — u^. 

 Nous pouvons donc supposer que la formule dont il s'agit est 

 ay^'+^byz — cz", où Ton aura a et c positifs ^ et ac-^b'^ :=^, 

 Mais d'ailleurs on a toujours 2 £> < a et c , et par conséquent 



ac-^-h"^ >5^*, donc on a 55* <^, ou h <\/-7-5 en même temps 

 les limites de ac sont ac<i^ -, ac^^u^. 



Remarque. Il peut arriver que différentes formules , telles que 

 ay''-\-'xbyz — cz" répondent à une même valeur de u4 ^ et satis- 

 fassent à la condition ib<ia et c , sans cependant différer essen- 

 tiellement entr'elles. Par exemple, les deux formules jk"" — 7 -s* 

 et ''2y''-\-iyz — 3z' donnent également (3c+5*=7, et ib<i.ci et c; 

 cependant si l'on faitjK=2^ — 5w, z=3w — ;f,laformule 2j/*-|- lyz — 3z* 

 deviendra t — 72^^*5 et réciproquement, si dans cette dernière on 

 fait t^=-'5y -f- 5z, w=j/ + iz, elle se réduit à la première 27* -}- lyz — 3z*. 

 D'où l'on voit que ces deux formules ne sont réellement que deux 

 expressions différentes d'une seule et même formule , et qu'il n'est 

 aucun nombre contenu dans Fune qui ne soit également contenu 

 dans l'autre avec la même valeur et le même signe. 



Le nombre ^ étant donné , il est facile de trouver toutes les 

 formules ay'^-^-ibyz — cz^ qui satisfont aux conditions b"" Ar clc^=^^ ^ 

 ^b <Ca et c ; et il est clair que le nombre de ces formules est 

 nécessairement limité , puisqu'on doit avoir a et c positifs , et 



b < v/"F'' Mais après avoir trouvé ces diverses formules , il restera 



à distinguer celles qui ne diffèrent point essentiellement entre 

 elles , afin qu'on soit en état de réduire la totalité au plus petit 

 nombre possible. Nous nous occuperons de cette recberclie dans le 

 5. XIII. 



2°. Si en supposant toujours p r — q* = — ^, L^ est un quarré 

 parfait, alors la formule proposée py^-\'iqyz-\-rz'' sera décom- 

 posable en deux facteurs rationnels (a.y-\-Cz) (yy-rS'z) ; si de 

 plus on d, pr — §'°^o, ces deux facteurs seront égaux. Ces ca$ 



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