y4 THÉORIE DES NOMBRES, 



n'ont pas besoin d'un plus grand développement , et on voit facile- 

 ment quelle seroit alors l'expression la plus simple de la formule 

 proposée. 



Soit donc 3°. pr — 7'= à un nombre positif ^, et supposons 

 de nouveau que la formule py^ -\-iqyz~\-rz'' soit réduite 

 à son expression la plus simple , de sorte que 2 ^ ne surpasse ni 



p ni r. Alors on aura pr^lhq' et '6q'<A , ou ^<\/— j en 



même temps on voit quepr sera toujours compris entre ^ et j A. 

 Etant donné le nombre A , il est facile de trouver toutes les 

 formules py^-^-iqyz-Vrz^ qui satisfont aux conditions pr — q^r=^A^ 

 et iq<.p et ^' ^^ peut démontrer de plus , que toutes ces formules 

 sont essentiellement différentes les unes des autres , et ne peuvent 

 se réduire à un moindre nombre. Ce sera Tobjet des deux pro- 

 positions suivantes. 



(48) Théorème. Si la formule indéterminée py' + 2qyz+rz* 

 est telle que 2 q ne surpasse ni p ni v ; si en même temps pr — q'' 

 est égal à un nombre positif A , je dis que les deux plus petits 

 nombres compris dans cette formule sont p et r. 



On observera d'abord que la formule pjK* "1-2 5'j^z + r^% con- 

 sidérée analytiquement , est la même quepj/' — 2qyz + rz'' ^ parce 

 qu'on peut faire à volonté les indéterminées y etz positives ou néga- 

 tives. Or toutes choses d'ailleurs égales, la^ormule pj^-\-2qfz-\-rz'' 

 dont nous supposerons les trois termes positifs , est plus grande que 

 la formule py'' — 2qyz-{-rz'''y ainsi ce n'est qu'à l'égard de cette der- 

 nière que le minimum peut avoir lieu. 



Soit donc P=py'' — 2 c'y ^ + rz^ , et soit ^ >z. Mettons j^ — i 

 à la place de y , et supposons que P devienne P', nous aurons 

 P' := P — 'ipy -\- p -\- "2 q z 

 OU P'=P—2q(y—z)—y (p — 2q)—p(y — i). 

 Or à cause de p > 2 ^ et j' > xt , il est manifeste que P' est moindre 

 que P , quand même le signe > comprendroit l'égalité , comme 

 on le suppose toujours. 



On pourroit objecter que quoiqu'on ait P'=P — Q., Q étant 



