PREMIÉREPARTIE. 75 



une quantité positive, cependant si Q est lui-même plus grand 

 que F , alors F' pourroit avoir une valeur négative plus grande 

 que F. Mais cette objection tombe d'elle-même , en observant qu'il 

 n'y a aucune valeur de y et de z qui puisse rendre la formule 

 py"" — 2çyz + rz^ négative , attendu que ses facteurs sont imagi- 

 naires. 



Il suit de-là que , quelles que soient les valeurs de y et z qui 

 donnent le résultat F , on trouvera. un résultat moindre en dimi- 

 nuant d'une unité la plus grande des deux quantités j^ et -s , ou 

 l'une des deux , si elles sont égales j car la conclusion qu'on a tirée 

 auroit également lieu, si on avoit j^=z. Mais en continuant ainsi 

 à diminuer les indéterminées j^ et z , on parviendra nécessairement 

 aux valeurs y= 1 , r = 1 j donc la quantité F ^=p — 2q-i-r qui 

 répond aux valeurs j^= 1 ^ z= 1 , est plus petite que toutes celles 

 qui répondent à des valeurs plus grandes de ces variables. 



D'un autre côté , puisque 2 g est <Cp et r, la quantité p — 2ç + J' 

 est plus grande , ou au moins égale à la plus grande des quantités 

 p et r. Donc ces deux nombres j» et r sont les plus petits qui soient 

 compris dans la formule proposée , et après ceux-ci le plus petit 

 est /?— 2 ç-^r, 



(49) Théorème. Si deux formules indéterminées Tpy'^-^-aqyz-^YZ^y 

 p'y* -{- 2 q'y z + r''z% sont telles l'une et l'autre, que le ,coe£icient du 

 terme moyen ne surpasse aucun des coefficiens extrêmes / si en 

 même temps les quantités p r — q"" , p'r' — q''' sont égales à un même 

 nombre positif A , je dis que ces deux formules sont essentielle- 

 ment différentes Vune de l'autre , et qu'elles ne peuvent se réduire 

 à une même formule. 



Car s'il étoit possible de transformer l'une de ces formules dans 

 l'autre , il faudroit que l'une des deux renfermât au moins un nombre 

 moindre que ses coefîiciens extrêmes , ce qui est contre le théo- 

 rème précédent. , 



( 5o ) Jusqu'à présent , nous n'avons considéré la formule 

 Ly' + ifij^z + iVz' que dans le cas où le coefficient moyen TÏf est 

 pair. Supposons maintenant que ce coefficient soit impair , on trou- 



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