78 THÉORIE DES NOMBRES. 



(62) Quelque loin qu'on ait poussé le développement de x en 

 fraction continue, on voit que le quotient- complet z s'exprime 

 facilement au moyen des deux dernières fractions convergentes 



^ , - , ce qui pourroit servir à continuer le développement encore 

 ç^ q 



plus loin. Mais indépendamment des fractions convergentes, ou 



peut avoir la loi de progression des quotiens-complets j en effet , 



soient 



a f 



trois de ces quotiens consécutifs : et soient — , - , ^les fractions 



9 q q 



convergentes qui leur correspondent : si on fait pour abréger 

 n g" — p°q = i , on aura , comme nous venons de le trouver , 



iD = fp'-\-gpq-\-hq\ 

 Passant de-là aux valeurs suivantes , et observant qu'alors i change 

 de signe, parce qu'on s^pq — pq==^ — (pq° — P^q) t ^®s formules 

 deviendront 



-.• r = ^fp'p^Lg(p'q+pq')^hq'q 



^iD'=. fp'p'-\-gpq'-\-hq'q'. 



Or si on appelle à l'ordinaire /x le quotient qui répond à la fraction 

 - , on aura jd'= y.p ■\-p° , q'z= i*-q-\-q° ^ valeurs qui étant substituées 

 dans la première équation, donneront 



ir^(^(fp'-^gpq-\-hq^)-\-fpp'^^^g(pq^-\^p''q)-\-hqq*^ 

 OU iT=[^iD--'i J y de sorte qu'on a sans ambiguïté 



Faisant les mêmes substitutions dans l'équation en 2? , on aura 

 pareillement 



—D'i^l^' (fp'-Vgpq-\-hq') +^ ('2fpp''+gp''g+gpf+ ^fiqq'') 

 +fp°'i-gp'f'bhq°^', 



et le second membre se réduisant k y."" Di — 2 /t^/i— iD*^ on aura 

 encore sans ambiguïté 



