8o THÉORIE DES NOMBRES. 



moins enti^elles que ne diffèrent Fune de Pautre ces deux fractions 

 convergentes , il est facile de voir que les deux résultats 



fp' +gpq-\-hq\ 

 obtenus en substituant , dans le premier membre de Féquation 



•—^ et - à la place de x , seront nécessairement de même signe ; 



donc alors D^ et D seront de signes différens. Mais comme Tap- 

 proxlmation augmente rapidement à l'aide des fractions continues , 

 cette alternation de signes ne peut avoir lieu que dans un petit 

 nombre des premiers termes , et bientôt après les quantités D 

 seront constamment de même signe. 



A compter de cette époque , où la série des quotiens- complets 

 prend une forme plus régulière , la quantité D D° étant toujours 

 positive , on aura à-la-fois /< ^^ et 7><2 \/^.. Les valeurs de / 

 et de D étant ainsi limitées , et d'ailleurs les nombres 2 J et D 



étant toujours des entiers, le quotient-complet — — y: ne peut 



?ivoir qu'un certain nombre de valeurs différentes. Donc après un 

 nombre de termes plus ou moins grand , mais qui ne peut excéder 

 \/^X.2\/^, on retombera nécessairement sur un quotient-complet 

 déjà trouvé , après quoi le reste de la fraction continue ne sera plus 

 composé que d'une même série ou période de quotiens déjà trouvés, 

 laquelle se répétera à l'infini, 



(54) Cela posé , il y aura une infinité de fractions convergentes 



p pi p2 . , 



^i — 9 — - 5 ^c. qui dans les périodes successives repondront a un 

 q q^ q'i 



même quolient-complet ~ — — 5 et il est d autant plus impor- 

 tant de rechercher Fexpression générale de ces fractions , qu'elles 

 serviront à donner une infinité de solutions des équations de la 

 forme fy^ -\- g y z -\- h z^ :=^ d:^ D . 



Soit donc ^ , /!>t% /^^\ . , . . , w la période de quotiens qui , répétée 



i/^ + 1 

 îine infinité cle fois, forme le développement de -^—^ 5 au moyen 



dô 



