S'i THÉORIE DES NOMBRES. 



On aura donc semblablement , à cause de l'égalité des périodes , 



/ C C \ c 



/ C ^ C s. C 



^ 2 r^^' 1 (^c.- — / + — . i^j + — fpi. 



Soit pour abréger ^ — — / = ? , — = 4 , ?' — -^ 4' = « , on tirera 



de ces équations 



p2 = 2 (pp i — ê/> 



Ç 2 =^ 2 ip q 1 i Ç. 



D'où il suit que les numérateurs p ,p i,p 2^ &c. forment une suite 

 récurrente dont Féclielle de relation est 2 ?, — s : il en est de même 

 de la [série des dénominateurs q , Ç i ^ 5^ 2 , &c. Et ce résultat est 



P P^ P"^ 

 applicable non-seulement aux trois premiers termes -, — , — j 



mais à trois autres quelconques , pourvu qu'ils se suivent immé- 

 diatement. 



Or il résulte de la théorie connue de ces suites , que si l'on fait 



("? H- 4 \/^T = * + -^ \/^ , 



n étant un entier quelconque , le terme général demandé — sera 



donné par les formules 



p^=af ^ -{-b'-^ 



q^^a'^-^f'-^a-, 

 où il ne reste plus à déterminer que les coefficiens a\ h\ a!\ h" . 

 Pour cela , soit 7z=o , et conséquemment ^=i , '^=0, on pourra 

 supposer jo ;, =7? , qn~q -, et ainsi on aura o!t=^p , a'^qi soit 

 ensuite 7z = i , il faudra qu'on ait' 



- p\ =7? ? -f è'4 



q 1 z=q(p -icb" -^-y 

 de-là et des valeurs connues de jt? i et ^ri , on tire 



b'^ — ^gp — hq 

 b"= -gq'rfq' 



Donc enfin le terme général — sera déterminé par les formules 



qrv 

 p^=p^ — (igp-\-hq)-^ 



