84 THÉORIE DES NOMBRES. 



Il paroît , par ce résultat , que les quantités (?> et 4 sont les mêmes , 

 soit que la période y. , ^', (a", . . . w commence au quotient (y. , ou 

 à tout autre terme //', {/% &c. , pourvu qu'elle soit composée des 

 mêmes quotiens disposés dans l'ordre de la période ; et c'est d'ailleurs 

 ce dont il est facile de s'assurer , en prenant /' et D' au lieu de 



et 



I et D , et calculant une valeur de - qui réponde aux quotiens 



f^', y."» . , . ft) , i^j car il en résultera absolument les mêmes valeurs 



pour les nombres (p et 4" 



C ct4-C° , 



Au reste , puisqu on a cp= a — -—I = — - — , il est clair que le 



nombre <p est entier, ou ne contient au plus que la fraction 75 



C 

 quant à l'autre nombre 4 = yy > je dis qu'il est toujours un entier. 



(56) En effet , si -— - n'est pas un entier , soit - son expression 

 îa plus simple, en sorte qu'on ait Cz=.Qy^ D^^&S"; nous avons 



trouvé ■—-=:-—-=- , on pourra donc faire aussia°=Aa', D°=^^S', 

 DDS^ 



^ „ .„. CI yl a—C' _. a—^ ^ . ,, 



Vn a d ailleurs —- = —-=: ; donc doit être un entier ,. 



D S' ^ ' y ' 



IfS" 



et ainsi on peut faire i = . Ces valeurs étant substituées dans; 



2 



Féquation D D-\- P = ^ , on aura 



Donc si le nombre g'' — ^fh n'a point de diviseur quarré , on aura 



nécessairement S'^ i , et ainsi il sera démontré que — est un 



entier 5 mais si g"" — if h a un facteur quarré «T'', l'équation pré- 

 cédente pourra avoir lieu , et il. faut examiner les conséquences 

 ultérieures qu'elle fournit. 



Or on a I={jlD°—J° , ou Pr=^°Z>°— J^^t^A^T 3 donc 



■2 



r est divisible par cT. On a ensuite D = D"^ + y." ( J° — I ) ^ 

 d'où l'on tire D^" =D — y° (1° — I). Le second membre étaiht 

 encore divisible par J", il faut que le premier IJ° le soit aussi , de 

 même que J°° dont la valeur est /w°° D'° — 1°. De-là on voit que non- 



