P R E M I E R E P A R T I E. §5 



seulement les trois termes du quotient-camplet ^ . sont di- 



visibles par cT, mais qu'il en est de même des trois termes des 

 quotiens-complets precedens — ~ , ^^—^, — , &€. Remon- 

 tant ainsi jusqu'à la valeur primitive de x , on verra que cT ne peut 

 être qu'un facteur qui affecte imitilement les trois termes de la 



quantité — "^ — ^ • et comme on peut supposer qu'un tel fac- 

 teur n'existe pas , ou qu'on s'en est débarrassé par la division , on 

 aura donc nécessairement cr= 1 3 et par conséquent — ou 4 est 

 toujours un nombre entier. 



{Sf) Lorsque ^ est pair , le nombre ^ est entier ainsi que /, et 

 alors (p ne peut manquer d'être un entier, puisqu'on a 9'— ^^'^rn rbi . 

 Lorsque ^^^ est impair, ^ et /sont des fractions qui ont pour déno- 

 minateurs 4 et 2 5 cependant il peut arriver même dans ce cas , que 

 4 soit pair , et alors tp sera encore un entier , en vertu de l'équation 



Enfin , si on a à-la-fois ^et 4 impairs , (p contiendra la fraction ^; 

 et en faisant (p=^«^ \/^=L^a^ on aura (p-h-l/-^ — 7M-ft4\/«. 

 Je dis maintenant qu'une puissance quelconque entière de 

 r« + HV/^ ne peut contenir au plus que la fraction ^. En effet, 

 à cause de w^ — a 4'= =^4, on a 



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D'où l'on voit que la seconde puissance contient la fraction ^ seule- 

 ment , et que la, 3^ ne contient aucune fraction , puisque « étant 



impair^ et doivent se réduire à des entiers. Or 



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l'exposant n , quel qu'il soit , sera toujours de l'une des formes 

 3A, 3Â:+i, 5^ + 2 j donc puisque la puissance 3 A ne contient pas 

 de fraction , la puissance /z ne pourra contenir au plus que la 

 fraction 7. Cette puissance est d'ailleurs représentée par* + ^\/^ 

 ou *-f j-^ y^ci s donc les nombres 2 $ et "J^ seront toujours entiers. 



