85 THÉORIE DES NOMBRES. 



On aura d'ailleurs entre ces entiers la relation 4*' — 4^^*=!db4. 



(58) Revenons à la considération des fractions -, —, —, &c. 



q q\ qi 



qui dans les périodes successives répondent à un même quotlent- 

 complet — j si Ion désigne par — - 1 expression générale 



de ces fractions Haquelle étoit ci-dessus — ^ J , il faudra qu'on ait 



P 



le signe -j- ayant lieu, si la fraction — est de rang impair parmi les 



fractions convergentes , et le signe — si elle est de rang pair. 



Or si on substitue dans le premier membre les valeurs trouvées 



pour P et Ç , savoir : 



P^P^—Cigp^-hq)-^ 



Q = q^-\- (igq+fp)'^, 

 on trouvera 



fP^^i.8PQ + hQ^r= (fp'+gpq-^hq^) C$^— :^^V; 



de sorte que comme on a déjà fp" +gp q + hq'' ='=hD , il faut que 



^'^ — ^ "^^ se réduise à±i , ce qui s'accorde avec ce que nous 



avons déjà démontré (n*^. 55). Cette vérification nous fournit de 



plus une remarque très-importante , savoir qu'on peut changer le 



signe de "^ dans les valeurs de P et Q, et que les nouvelles valeurs qui 



en résultent satisfont également àl'équationyP^+^P(3 + /iQ^=±£7; 



or en examinant ces secondes valeurs 



P=p^ -h (igp^hq)-^ 



Q = q^— (igq + fp)-^, 

 et les comparant aux premières où "^P" a un signe contraire , on trou- 

 vera qu'elles ne sont point comprises dans celles-ci , ou du moins 

 qu'elles ne le sont qu'en supposant l'exposant n négatif ( c'est ce 

 qu'on développera davantage ci- après). 11 faut donc nécessairement 

 que ces nouvelles valeurs de P et Q résultent du développement 

 de l'autre racine de la même équation /x*-f^ a: -h h =o. 



(59) 1\ suffit, par conséquent , pour résoudre l'équation proposée 

 fy+gfz-^hz''=^D, lorsque Z> n'excède pas \/( -^g^-^f^J > 



