PREMIÈRE PARTI E. g; 



de développer en fraction continue une seule racine de l'équation 

 fx'--\-gx-\-h^o ^ et la solution qu'on obtiendra par le moyen des 



fractions convergentes qui répondent au quotient-complet 



comprendra également , par un simple changement de signe la 

 solution qui naîtroit du développement de l'autre racine. Ces deux 

 solutions seront réunies dans les formules générales 



z=q^^ ({gq-\- fp)'^', 

 et s'il arrive que le nombre donné D ne se trouve nulle part parmi 

 les dénominateurs des quotiens-complets dans le développement 

 d'une racine , il sera inutile de chercher ce même nombre dans 

 le développement de Taufre racine , et on pourra dès-lors assurer 

 que l'équation dont il s'agit n'est pas résoluble en nombres entiers. 



Pour éviter tout embarras à l'égard des signes dans l'application 

 des formules précédentes , faisons jd^'" — p°q=i , i pouvant être -i- j 

 ou — 1 selon les différens cas, on aura d'abord 



fp'-\-gpq-\-hq'' — iD. 

 Il faudra ensuite faire attention au nombre de termes de la période 

 ^5 [^ « : si ce nombre est pair , les diverses fractions con- 



P P^ pi O 1 , -, 1 A 



vergentes -, — , — , &c. seront placées de la même manière , 

 q qi qi ^ ' 



c'est-à-dire qu'elles seront toutes de rang pair , ou toutes de rang 



impair , et ainsi l'équation fj"" + g y z ■\- h z^'^.iD sera résolue 



par les formules 



y—pi^-±=.(\gpArhq)-^ . 



z=^q^^({gq -Vfp)-^ 

 OÙ l'on a f(p + 4v/-<^/= * + '*' V^-^- 

 Dans ce cas , l'équation fj"^ -\- gy z-\-hz'' = — iD ne pourra être 

 résolue en nombres entiers , au moins d'après la fraction conver- 



p 

 gente -. 



Si au contraire le nombre des termes de la période est impair, 

 alors on pourra , par les mêmes formules , résoudre à-la-fois l'équa- 

 Xion fy^gjz-\'hz^=^-\-iD et Vé^\idXionfy^-\-gjz-Vhz^^= — iD , 



